Номер 22.37, страница 136, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 22. Как построить график функции у = f(х) + m, если известен график функции у = f(х). Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 22.37, страница 136.

Условие.

Решите графически систему уравнений:

22.37 a)

$$ \begin{cases} y = 3x^2 - 2, \\ y = 1; \end{cases} $$

б) $$ \begin{cases} y = \frac{2}{x} + 1, \\ y = 3; \end{cases} $$

в) $$ \begin{cases} y = -2x^2 + 3, \\ y = 3; \end{cases} $$

г) $$ \begin{cases} y = -\frac{4}{x} - 2, \\ y = -1. \end{cases} $$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) Чтобы решить систему уравнений графически, необходимо построить графики каждого уравнения в одной системе координат и найти точки их пересечения. Координаты этих точек и будут решением системы.

Первое уравнение: $y = 3x^2 - 2$. Его график — парабола. Коэффициент при $x^2$ положителен (равен 3), значит, ветви параболы направлены вверх. Вершина параболы находится в точке с координатами $(0; -2)$. Для точности построения найдем еще несколько точек, принадлежащих графику: если $x=1$, то $y=3(1)^2-2=1$; если $x=-1$, то $y=3(-1)^2-2=1$. Таким образом, парабола проходит через точки $(-1; 1)$, $(0; -2)$ и $(1; 1)$.

Второе уравнение: $y = 1$. Его график — это прямая линия, параллельная оси абсцисс (оси Ox) и проходящая через точку $(0; 1)$ на оси ординат.

Построив оба графика в одной системе координат, мы находим их точки пересечения. В данном случае это точки с координатами $(-1; 1)$ и $(1; 1)$.

Ответ: $(-1; 1)$, $(1; 1)$.

б) Для решения данной системы построим графики функций $y = \frac{2}{x} + 1$ и $y = 3$ и определим координаты точек их пересечения.

Первое уравнение: $y = \frac{2}{x} + 1$. Его график — гипербола, полученная сдвигом графика функции $y = \frac{2}{x}$ на 1 единицу вверх вдоль оси ординат. Асимптотами графика являются прямые $x=0$ (ось Oy) и $y=1$. Ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях относительно этих асимптот. Найдем несколько точек для построения: если $x=1$, то $y=\frac{2}{1}+1=3$; если $x=2$, то $y=\frac{2}{2}+1=2$; если $x=-1$, то $y=\frac{2}{-1}+1=-1$; если $x=-2$, то $y=\frac{2}{-2}+1=0$.

Второе уравнение: $y = 3$. Его график — прямая, параллельная оси Ox и проходящая через точку $(0; 3)$.

Построив графики, мы видим, что они пересекаются в одной точке. Координаты этой точки — $(1; 3)$.

Ответ: $(1; 3)$.

в) Решим систему графически, построив графики уравнений $y = -2x^2 + 3$ и $y = 3$ в одной системе координат.

Первое уравнение: $y = -2x^2 + 3$. Графиком является парабола. Коэффициент при $x^2$ отрицателен (равен -2), поэтому ветви параболы направлены вниз. Вершина параболы находится в точке $(0; 3)$. Найдем несколько точек для построения: если $x=1$, то $y=-2(1)^2+3=1$; если $x=-1$, то $y=-2(-1)^2+3=1$. Парабола проходит через точки $(-1; 1)$, $(0; 3)$ и $(1; 1)$.

Второе уравнение: $y = 3$. Его график — прямая, параллельная оси Ox, проходящая через точку $(0; 3)$.

При построении графиков видно, что прямая $y=3$ касается параболы в ее вершине. Таким образом, система имеет одно решение — точку касания.

Координаты точки пересечения: $(0; 3)$.

Ответ: $(0; 3)$.

г) Для графического решения системы построим графики функций $y = -\frac{4}{x} - 2$ и $y = -1$ и найдем их точки пересечения.

Первое уравнение: $y = -\frac{4}{x} - 2$. График — гипербола, полученная сдвигом графика $y = -\frac{4}{x}$ на 2 единицы вниз. Асимптоты графика — прямые $x=0$ и $y=-2$. Ветви гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях относительно асимптот. Найдем несколько точек для построения: если $x=-4$, то $y=-\frac{4}{-4}-2 = 1-2 = -1$; если $x=-2$, то $y=-\frac{4}{-2}-2=2-2=0$; если $x=2$, то $y=-\frac{4}{2}-2=-2-2=-4$; если $x=4$, то $y=-\frac{4}{4}-2=-1-2=-3$.

Второе уравнение: $y = -1$. Его график — прямая, параллельная оси Ox, проходящая через точку $(0; -1)$.

Построив графики в одной системе координат, находим, что они пересекаются в одной точке. Координаты этой точки — $(-4; -1)$.

Ответ: $(-4; -1)$.