Номер 22.31, страница 135, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 22. Как построить график функции у = f(х) + m, если известен график функции у = f(х). Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 22.31, страница 135.

Условие.

Решите графически уравнение:

22.31 a) $x^2 + 1 = \frac{2}{x}$;

б) $\frac{4}{x} - 5 = -x$;

в) $x^2 + 1 = -\frac{2}{x}$;

г) $\frac{3}{x} - 2 = x$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) Для того чтобы решить уравнение $x^2 + 1 = \frac{2}{x}$ графически, необходимо построить в одной системе координат графики двух функций: $y = x^2 + 1$ и $y = \frac{2}{x}$. Решениями уравнения будут абсциссы точек пересечения этих графиков.
1. График функции $y = x^2 + 1$ — это парабола, ветви которой направлены вверх. Она получена из графика стандартной параболы $y = x^2$ путем сдвига на 1 единицу вверх по оси ординат. Вершина параболы находится в точке (0; 1).
2. График функции $y = \frac{2}{x}$ — это гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях. Асимптотами являются оси координат.
Построим эти графики. Парабола $y = x^2 + 1$ находится полностью в верхней полуплоскости ($y \ge 1$), поэтому она может пересекаться только с той ветвью гиперболы, которая находится в I четверти. Из графиков видно, что они пересекаются в одной точке. Координаты этой точки (1; 2).
Проверим: при $x=1$ левая часть уравнения равна $1^2 + 1 = 2$, правая часть равна $\frac{2}{1} = 2$. Равенство верно.
Абсцисса точки пересечения и есть корень уравнения.
Ответ: 1.

б) Для графического решения уравнения $\frac{4}{x} - 5 = -x$ преобразуем его к более удобному для построения виду, перенеся $-5$ в правую часть: $\frac{4}{x} = 5 - x$.
Теперь построим в одной системе координат графики функций $y = \frac{4}{x}$ и $y = 5 - x$.
1. График функции $y = \frac{4}{x}$ — это гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях.
2. График функции $y = 5 - x$ — это прямая. Для ее построения найдем две точки: если $x = 0$, то $y = 5$; если $y = 0$, то $x = 5$. Таким образом, прямая проходит через точки (0; 5) и (5; 0).
Построив графики, видим, что они пересекаются в двух точках. Определим их координаты по графику: (1; 4) и (4; 1).
Абсциссы этих точек являются решениями исходного уравнения.
Ответ: 1; 4.

в) Чтобы решить уравнение $x^2 + 1 = -\frac{2}{x}$ графически, построим в одной системе координат графики функций $y = x^2 + 1$ и $y = -\frac{2}{x}$.
1. График функции $y = x^2 + 1$ — это парабола с вершиной в точке (0; 1), ветви которой направлены вверх.
2. График функции $y = -\frac{2}{x}$ — это гипербола, ветви которой расположены во II и IV координатных четвертях.
Построим графики. Парабола $y = x^2 + 1$ расположена выше оси абсцисс ($y \ge 1$). Гипербола $y = -\frac{2}{x}$ имеет положительные значения $y$ только во II четверти (где $x < 0$). Следовательно, пересечение возможно только в этой четверти.
Из графиков видно, что они пересекаются в одной точке с координатами (-1; 2).
Проверим: при $x=-1$ левая часть уравнения равна $(-1)^2 + 1 = 2$, правая часть равна $-\frac{2}{-1} = 2$. Равенство верно.
Абсцисса точки пересечения является решением уравнения.
Ответ: -1.

г) Для графического решения уравнения $\frac{3}{x} - 2 = x$ преобразуем его к виду $\frac{3}{x} = x + 2$.
Построим в одной системе координат графики функций $y = \frac{3}{x}$ и $y = x + 2$.
1. График функции $y = \frac{3}{x}$ — это гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях.
2. График функции $y = x + 2$ — это прямая. Для ее построения найдем две точки: если $x = 0$, то $y = 2$; если $y = 0$, то $x = -2$. Прямая проходит через точки (0; 2) и (-2; 0).
Построив графики, видим, что они пересекаются в двух точках. Координаты этих точек: (1; 3) и (-3; -1).
Абсциссы этих точек и являются решениями исходного уравнения.
Ответ: -3; 1.