Страница 135, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

1. Расскажите, как вы будете графически решать уравнение $x^2 + 2x - 3 = 0$. Предложите несколько способов. Решите это уравнение одним из предложенных вами способов.

Графическое решение уравнения — это нахождение корней уравнения как абсцисс (координат $x$) точек пересечения графиков функций. Уравнение $x^2 + 2x - 3 = 0$ можно решить графически несколькими способами, преобразуя его к виду $f(x) = g(x)$ и строя графики функций $y=f(x)$ и $y=g(x)$.

Способ 1. Пересечение параболы с осью абсцисс

Этот способ предполагает рассмотрение всего уравнения как одной функции $y = x^2 + 2x - 3$. Корнями уравнения $x^2 + 2x - 3 = 0$ будут абсциссы точек, в которых график этой функции пересекает ось $Ox$ (то есть, где $y=0$). Для этого нужно построить параболу $y = x^2 + 2x - 3$ и найти ее точки пересечения с осью абсцисс.

Способ 2. Пересечение стандартной параболы и прямой

Исходное уравнение $x^2 + 2x - 3 = 0$ можно преобразовать, перенеся члены с $x$ и свободный член в правую часть: $x^2 = -2x + 3$. В этом случае решение сводится к нахождению абсцисс точек пересечения двух более простых графиков: параболы $y = x^2$ (с вершиной в начале координат) и прямой $y = -2x + 3$.

Способ 3. Пересечение смещенной параболы и горизонтальной прямой

Можно преобразовать уравнение, выделив в его левой части полный квадрат:
$x^2 + 2x - 3 = 0$
$(x^2 + 2x + 1) - 1 - 3 = 0$
$(x+1)^2 - 4 = 0$
$(x+1)^2 = 4$
Теперь задача заключается в нахождении абсцисс точек пересечения параболы $y = (x+1)^2$ (график $y=x^2$, смещенный на 1 влево) и горизонтальной прямой $y = 4$.

Решение уравнения одним из предложенных способов

Решим уравнение $x^2 + 2x - 3 = 0$ первым способом. Для этого построим график функции $y = x^2 + 2x - 3$.
Это парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1$).
Найдем координаты вершины параболы $(x_в; y_в)$.
Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_в = - \frac{b}{2a}$:
$x_в = - \frac{2}{2 \cdot 1} = -1$.
Ордината вершины $y_в$ находится подстановкой $x_в$ в уравнение функции:
$y_в = (-1)^2 + 2(-1) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4$.
Таким образом, вершина параболы находится в точке $(-1, -4)$.

Для более точного построения графика найдем несколько дополнительных точек, составив таблицу значений:

Построив параболу по этим точкам, мы видим, что она пересекает ось абсцисс ($Ox$) в двух точках. Из таблицы видно, что значение $y=0$ достигается при $x = -3$ и $x = 1$. Координаты этих точек пересечения: $(-3, 0)$ и $(1, 0)$.
Абсциссы этих точек и являются корнями данного квадратного уравнения.
Ответ: $x_1 = -3, x_2 = 1$.

2. Сколько способов решения квадратного уравнения графическим методом вы узнали в этом параграфе? Какой из способов вам понравился больше всего?

Графический метод решения квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ ($a \neq 0$) заключается в нахождении абсцисс (координат $x$) точек пересечения графиков двух функций. В зависимости от того, как преобразовать исходное уравнение, можно выделить несколько основных способов.

Способ 1. Пересечение параболы с осью абсцисс

Этот способ является наиболее прямым. Уравнение рассматривается как квадратичная функция $y = ax^2 + bx + c$. Корни уравнения — это точки, в которых значение функции равно нулю, то есть точки пересечения ее графика с осью $Ox$.

1. Строится график функции $y = ax^2 + bx + c$. Это парабола. Для построения необходимо:
   • Определить направление ветвей (вверх при $a > 0$, вниз при $a < 0$).
   • Найти координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$ по формуле $x_0 = -{b \over 2a}$.
   • Найти точку пересечения с осью $Oy$, подставив $x=0$ (получится точка $(0, c)$).
   • Найти несколько дополнительных точек для точности построения.
2. Находятся абсциссы точек пересечения параболы с осью $Ox$. Эти значения и являются корнями уравнения.
   • Две точки пересечения — два действительных корня.
   • Одна точка касания (вершина на оси) — один действительный корень.
   • Нет точек пересечения — нет действительных корней.

Способ 2. Пересечение параболы и прямой

Этот метод основан на преобразовании уравнения к виду, где в левой и правой частях стоят более простые функции. Уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ преобразуется к виду $f(x)=g(x)$.

1. Исходное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ преобразуется к виду $ax^2 = -bx - c$.
2. Задача сводится к нахождению абсцисс точек пересечения двух графиков: параболы $y = ax^2$ и прямой $y = -bx - c$.
3. Парабола $y = ax^2$ имеет вершину в начале координат, что упрощает ее построение. Прямую можно построить по двум точкам.
4. Вариант этого способа: можно привести уравнение к виду $x^2 = -{b \over a}x - {c \over a}$. Тогда ищутся точки пересечения стандартной параболы $y = x^2$ и прямой $y = -{b \over a}x - {c \over a}$. Этот вариант особенно удобен, так как для параболы $y = x^2$ можно использовать шаблон.

Способ 3. Пересечение гиперболы и прямой

Это менее стандартный, но также возможный способ.

1. В уравнении $ax^2 + bx + c = 0$ переносим члены $ax^2$ и $b$ в другую часть: $c = -ax^2 - bx$.
2. Если $x \neq 0$, можно разделить обе части на $x$: ${c \over x} = -ax - b$.
3. Теперь нужно найти абсциссы точек пересечения гиперболы $y = {c \over x}$ и прямой $y = -ax - b$.
4. Этот метод требует осторожности: он не работает, если $c=0$, и не находит корень $x=0$, если он существует. Случай $x=0$ (который возможен только при $c=0$) нужно проверять отдельно.

Ответ: В зависимости от содержания конкретного учебного материала, в параграфе могло быть представлено два или три из описанных выше способов графического решения квадратных уравнений.

Мне больше всего понравился второй способ, а именно его вариант с приведением уравнения к виду $x^2 = kx+m$ и последующим нахождением точек пересечения стандартной параболы $y = x^2$ и прямой $y = kx+m$.

Этот выбор можно обосновать следующими причинами:

• Практичность и простота: Парабола $y = x^2$ является базовой. Ее легко построить, можно даже изготовить шаблон для многократного использования. Построение прямой по двум точкам — также простая задача. Это избавляет от необходимости каждый раз вычислять координаты вершины новой параболы, как в первом способе.
• Наглядность: Взаимное расположение стандартной, всем знакомой параболы и прямой очень четко и наглядно показывает, сколько решений имеет уравнение. Легко увидеть, когда прямая пересекает параболу в двух точках, касается ее в одной или не пересекает вовсе.
• Универсальность: Метод применим к любому полному или неполному квадратному уравнению (в отличие от третьего способа, имеющего ограничения).

Таким образом, этот способ сочетает в себе простоту исполнения, точность (при аккуратном построении) и наглядность, что делает его очень привлекательным для практического применения.

Ответ: Больше всего понравился способ решения квадратного уравнения через построение параболы $y = x^2$ и прямой, так как он наиболее прост в построении, нагляден и универсален.

3. Всегда ли удобно решать квадратное уравнение графическим способом? Если нет, то приведите пример такого уравнения и укажите причины неудобства.

Нет, не всегда удобно решать квадратное уравнение графическим способом. Этот метод очень нагляден и полезен для понимания сути решения, но он имеет ряд существенных недостатков, которые делают его непрактичным во многих случаях.

Пример уравнения, которое неудобно решать графически

Рассмотрим следующее квадратное уравнение:

$10x^2 + x - 3 = 0$

Причины неудобства

Для решения этого уравнения графическим способом необходимо построить параболу $y = 10x^2 + x - 3$ и найти точки ее пересечения с осью абсцисс ($y=0$). Однако здесь возникает несколько проблем:

1. Низкая точность при нецелых корнях.

   Если решить это уравнение аналитически, используя формулу корней через дискриминант, мы получим:

   $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 10 \cdot (-3) = 1 + 120 = 121 = 11^2$

   $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + 11}{2 \cdot 10} = \frac{10}{20} = 0,5$

   $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - 11}{2 \cdot 10} = \frac{-12}{20} = -0,6$

   Как видно, корни являются дробными числами. Определить такие значения по графику, построенному от руки, с достаточной точностью очень сложно. Можно легко ошибиться и получить, например, $0,4$ или $-0,7$. Если бы корни были иррациональными (например, в уравнении $x^2 + x - 1 = 0$), то точно определить их по графику было бы в принципе невозможно.

2. Сложность построения графика.

   Из-за большого коэффициента $a=10$ ветви параболы $y = 10x^2 + x - 3$ будут очень крутыми, "прижатыми" к оси $y$. Это делает аккуратное построение графика затруднительным. Вершина параболы находится в точке с абсциссой $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{20} = -0,05$. Построить график с такой точностью на обычной клетчатой бумаге крайне неудобно.

3. Большие временные затраты.

   Аналитическое решение по формуле заняло меньше минуты. Точное же построение графика (нахождение вершины, оси симметрии, точек пересечения с осями и нескольких дополнительных точек для плавности кривой) требует значительно больше времени и усилий, при этом давая менее точный результат.

Ответ: Решать квадратное уравнение графическим способом не всегда удобно. Основные причины неудобства: 1) низкая точность, особенно если корни дробные или иррациональные; 2) сложность построения графика при больших, малых или дробных коэффициентах, что затрудняет выбор масштаба и аккуратное изображение параболы; 3) большие затраты времени по сравнению с быстрым и точным аналитическим решением по формуле. Примером неудобного уравнения является $10x^2 + x - 3 = 0$, так как у него дробные корни и "крутые" ветви параболы, что усложняет построение и нахождение точного ответа по графику.

22.30 Постройте график функции $y = -|x| + 3$. С помощью графика найдите:

а) значение $y$ при $x = -4; 0; 1;$

б) значения $x$, если $y = 3; 0; -2;$

в) значения $x$, при которых $y > 0, y < 0;$

г) наибольшее значение функции.

Для построения графика функции $y = -|x| + 3$ выполним следующие преобразования:
1. Строим график основной функции $y = |x|$. Это две прямые, $y = x$ при $x \ge 0$ и $y = -x$ при $x < 0$, образующие "галочку" с вершиной в точке $(0, 0)$.
2. Строим график функции $y = -|x|$. Знак "минус" перед модулем означает, что график $y = |x|$ нужно симметрично отразить относительно оси абсцисс (оси Ox). Получаем "перевернутую галочку" с вершиной в точке $(0, 0)$.
3. Строим график функции $y = -|x| + 3$. Прибавление 3 означает, что график $y = -|x|$ нужно сдвинуть на 3 единицы вверх вдоль оси ординат (оси Oy).
В результате получаем график, состоящий из двух лучей, исходящих из точки $(0, 3)$ (вершина).
Найдем точки пересечения с осями для более точного построения:
- Пересечение с осью Oy: $x=0$, $y = -|0| + 3 = 3$. Точка $(0, 3)$.
- Пересечение с осью Ox: $y=0$, $0 = -|x| + 3$, $|x| = 3$. Отсюда $x=3$ и $x=-3$. Точки $(3, 0)$ и $(-3, 0)$.
Таким образом, график представляет собой два луча:
- прямая $y = -x + 3$ для $x \ge 0$;
- прямая $y = x + 3$ для $x < 0$.
Используя этот график, ответим на вопросы.

а) значение y при x = –4; 0; 1;
Находим на графике точки с заданными абсциссами и определяем их ординаты:
- при $x = -4$, значение функции $y = -|-4| + 3 = -4 + 3 = -1$.
- при $x = 0$, значение функции $y = -|0| + 3 = 3$. Это вершина графика.
- при $x = 1$, значение функции $y = -|1| + 3 = -1 + 3 = 2$.
Ответ: при $x=-4$ $y=-1$; при $x=0$ $y=3$; при $x=1$ $y=2$.

б) значения x, если y = 3; 0; –2;
Проводим на графике горизонтальные прямые, соответствующие заданным значениям $y$, и находим абсциссы точек пересечения с графиком функции:
- при $y = 3$, прямая $y=3$ пересекает график в его вершине, где $x=0$.
- при $y = 0$, прямая $y=0$ (ось Ox) пересекает график в точках, где $x=-3$ и $x=3$.
- при $y = -2$, решим уравнение: $-2 = -|x| + 3 \Rightarrow |x| = 5$. Следовательно, $x=-5$ и $x=5$.
Ответ: $y=3$ при $x=0$; $y=0$ при $x = \pm 3$; $y=-2$ при $x = \pm 5$.

в) значения x, при которых y > 0, y < 0;
- Значения $y > 0$ соответствуют части графика, расположенной выше оси Ox. Это происходит на интервале между точками пересечения с осью Ox, то есть между $x=-3$ и $x=3$. Таким образом, $y > 0$ при $x \in (-3; 3)$.
- Значения $y < 0$ соответствуют частям графика, расположенным ниже оси Ox. Это происходит левее точки $x=-3$ и правее точки $x=3$. Таким образом, $y < 0$ при $x \in (-\infty; -3) \cup (3; +\infty)$.
Ответ: $y>0$ при $x \in (-3; 3)$; $y<0$ при $x \in (-\infty; -3) \cup (3; +\infty)$.

г) наибольшее значение функции.
График функции представляет собой "перевернутую галочку", вершина которой является самой высокой точкой. Координаты вершины - $(0, 3)$. Ордината этой точки и есть наибольшее значение функции.
Ответ: Наибольшее значение функции равно 3.

Решите графически уравнение:

22.31 a) $x^2 + 1 = \frac{2}{x}$;

б) $\frac{4}{x} - 5 = -x$;

в) $x^2 + 1 = -\frac{2}{x}$;

г) $\frac{3}{x} - 2 = x$.

а) Для того чтобы решить уравнение $x^2 + 1 = \frac{2}{x}$ графически, необходимо построить в одной системе координат графики двух функций: $y = x^2 + 1$ и $y = \frac{2}{x}$. Решениями уравнения будут абсциссы точек пересечения этих графиков.
1. График функции $y = x^2 + 1$ — это парабола, ветви которой направлены вверх. Она получена из графика стандартной параболы $y = x^2$ путем сдвига на 1 единицу вверх по оси ординат. Вершина параболы находится в точке (0; 1).
2. График функции $y = \frac{2}{x}$ — это гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях. Асимптотами являются оси координат.
Построим эти графики. Парабола $y = x^2 + 1$ находится полностью в верхней полуплоскости ($y \ge 1$), поэтому она может пересекаться только с той ветвью гиперболы, которая находится в I четверти. Из графиков видно, что они пересекаются в одной точке. Координаты этой точки (1; 2).
Проверим: при $x=1$ левая часть уравнения равна $1^2 + 1 = 2$, правая часть равна $\frac{2}{1} = 2$. Равенство верно.
Абсцисса точки пересечения и есть корень уравнения.
Ответ: 1.

б) Для графического решения уравнения $\frac{4}{x} - 5 = -x$ преобразуем его к более удобному для построения виду, перенеся $-5$ в правую часть: $\frac{4}{x} = 5 - x$.
Теперь построим в одной системе координат графики функций $y = \frac{4}{x}$ и $y = 5 - x$.
1. График функции $y = \frac{4}{x}$ — это гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях.
2. График функции $y = 5 - x$ — это прямая. Для ее построения найдем две точки: если $x = 0$, то $y = 5$; если $y = 0$, то $x = 5$. Таким образом, прямая проходит через точки (0; 5) и (5; 0).
Построив графики, видим, что они пересекаются в двух точках. Определим их координаты по графику: (1; 4) и (4; 1).
Абсциссы этих точек являются решениями исходного уравнения.
Ответ: 1; 4.

в) Чтобы решить уравнение $x^2 + 1 = -\frac{2}{x}$ графически, построим в одной системе координат графики функций $y = x^2 + 1$ и $y = -\frac{2}{x}$.
1. График функции $y = x^2 + 1$ — это парабола с вершиной в точке (0; 1), ветви которой направлены вверх.
2. График функции $y = -\frac{2}{x}$ — это гипербола, ветви которой расположены во II и IV координатных четвертях.
Построим графики. Парабола $y = x^2 + 1$ расположена выше оси абсцисс ($y \ge 1$). Гипербола $y = -\frac{2}{x}$ имеет положительные значения $y$ только во II четверти (где $x < 0$). Следовательно, пересечение возможно только в этой четверти.
Из графиков видно, что они пересекаются в одной точке с координатами (-1; 2).
Проверим: при $x=-1$ левая часть уравнения равна $(-1)^2 + 1 = 2$, правая часть равна $-\frac{2}{-1} = 2$. Равенство верно.
Абсцисса точки пересечения является решением уравнения.
Ответ: -1.

г) Для графического решения уравнения $\frac{3}{x} - 2 = x$ преобразуем его к виду $\frac{3}{x} = x + 2$.
Построим в одной системе координат графики функций $y = \frac{3}{x}$ и $y = x + 2$.
1. График функции $y = \frac{3}{x}$ — это гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях.
2. График функции $y = x + 2$ — это прямая. Для ее построения найдем две точки: если $x = 0$, то $y = 2$; если $y = 0$, то $x = -2$. Прямая проходит через точки (0; 2) и (-2; 0).
Построив графики, видим, что они пересекаются в двух точках. Координаты этих точек: (1; 3) и (-3; -1).
Абсциссы этих точек и являются решениями исходного уравнения.
Ответ: -3; 1.

22.32 a) $-\sqrt{x} + 4 = 3x^2$;

б) $\left|x\right| - 3 = -\frac{4}{x}$;

в) $\sqrt{x-1} = \frac{4}{x}$;

г) $-\left|x\right| + 2 = 0.5(x-2)^2.$

а) Решим уравнение $-\sqrt{x+4} = 3x^2$.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x+4 \ge 0$, откуда $x \ge -4$.
Рассмотрим левую и правую части уравнения.
Левая часть: $-\sqrt{x+4}$. Поскольку квадратный корень всегда неотрицателен ($\sqrt{x+4} \ge 0$), то левая часть всегда неположительна ($-\sqrt{x+4} \le 0$).
Правая часть: $3x^2$. Поскольку квадрат числа всегда неотрицателен ($x^2 \ge 0$), то правая часть всегда неотрицательна ($3x^2 \ge 0$).
Равенство возможно только в том случае, если обе части одновременно равны нулю.
1) Приравняем правую часть к нулю: $3x^2 = 0 \implies x = 0$.
2) Приравняем левую часть к нулю: $-\sqrt{x+4} = 0 \implies x+4 = 0 \implies x = -4$.
Значения $x$, при которых левая и правая части обращаются в ноль, не совпадают. Если $x=0$, то левая часть равна $-\sqrt{0+4} = -2$, а правая равна $0$. Равенство $-2=0$ неверно. Если $x=-4$, то левая часть равна $-\sqrt{-4+4}=0$, а правая равна $3(-4)^2 = 48$. Равенство $0=48$ неверно.
При всех остальных значениях $x$ из ОДЗ левая часть будет строго отрицательной, а правая — строго положительной, поэтому равенство невозможно.
Следовательно, у уравнения нет корней.
Ответ: нет корней.

б) Решим уравнение $|x|-3 = -\frac{4}{x}$.
ОДЗ: $x \ne 0$.
Рассмотрим два случая в зависимости от знака $x$.
1) Если $x > 0$, то $|x| = x$. Уравнение принимает вид:
$x - 3 = -\frac{4}{x}$
Умножим обе части на $x$ (так как $x > 0$):
$x^2 - 3x = -4$
$x^2 - 3x + 4 = 0$
Найдем дискриминант этого квадратного уравнения: $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 9 - 16 = -7$.
Поскольку $D < 0$, действительных корней в этом случае нет.
2) Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Уравнение принимает вид:
$-x - 3 = -\frac{4}{x}$
Умножим обе части на $x$ (так как $x < 0$):
$-x^2 - 3x = -4$
$x^2 + 3x - 4 = 0$
По теореме Виета, сумма корней равна $-3$, а произведение равно $-4$. Корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -4$.
Проверим, удовлетворяют ли корни условию $x < 0$.
$x_1 = 1$ не удовлетворяет условию $x < 0$, поэтому это посторонний корень.
$x_2 = -4$ удовлетворяет условию $x < 0$.
Проверим найденный корень подстановкой в исходное уравнение: $|-4| - 3 = 4 - 3 = 1$. Правая часть: $-\frac{4}{-4} = 1$. Равенство $1=1$ верное.
Ответ: -4.

в) Решим уравнение $\sqrt{x-1} = \frac{4}{x}$.
ОДЗ: $x-1 \ge 0$ и $x \ne 0$. Объединяя условия, получаем $x \ge 1$.
На области допустимых значений обе части уравнения неотрицательны, поэтому можно возвести обе части в квадрат:
$(\sqrt{x-1})^2 = (\frac{4}{x})^2$
$x-1 = \frac{16}{x^2}$
Умножим на $x^2$ (так как $x^2 > 0$ при $x \ge 1$):
$x^2(x-1) = 16$
$x^3 - x^2 - 16 = 0$
Это кубическое уравнение. Попробуем найти его рациональные корни. Если они есть, то они должны быть среди делителей свободного члена (числа 16). С учетом ОДЗ $x \ge 1$, возможные целые корни: $1, 2, 4, 8, 16$.
Проверим их:
При $x=1$: $1^3 - 1^2 - 16 = -16 \ne 0$.
При $x=2$: $2^3 - 2^2 - 16 = 8 - 4 - 16 = -12 \ne 0$.
При $x=4$: $4^3 - 4^2 - 16 = 64 - 16 - 16 = 32 \ne 0$.
Целых и рациональных корней у уравнения нет.
Рассмотрим поведение функций в левой и правой частях исходного уравнения: $y_1 = \sqrt{x-1}$ и $y_2 = \frac{4}{x}$.
На ОДЗ ($x \ge 1$) функция $y_1$ является возрастающей, а функция $y_2$ — убывающей. Это означает, что графики этих функций могут пересечься не более одного раза, следовательно, уравнение имеет не более одного корня.
Чтобы доказать, что корень существует, найдем значения функций на концах некоторого отрезка.
При $x=2$: $y_1 = \sqrt{2-1}=1$, $y_2 = \frac{4}{2}=2$. Здесь $y_1 < y_2$.
При $x=3$: $y_1 = \sqrt{3-1}=\sqrt{2}\approx 1.41$, $y_2 = \frac{4}{3} \approx 1.33$. Здесь $y_1 > y_2$.
Поскольку функции непрерывны, а на одном конце отрезка $[2, 3]$ значение $y_1$ меньше $y_2$, а на другом — больше, то где-то внутри интервала $(2, 3)$ их значения совпадают.
Таким образом, уравнение имеет единственный корень, и этот корень является иррациональным числом, лежащим в интервале $(2, 3)$.
Ответ: уравнение имеет один иррациональный корень $x \in (2, 3)$.

г) Решим уравнение $-|x|+2 = 0.5(x-2)^2$.
Это уравнение удобно решать, раскрыв модуль для двух случаев.
1) Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Уравнение принимает вид:
$-x+2 = 0.5(x-2)^2$
$-(x-2) = 0.5(x-2)^2$
Перенесем все в одну сторону:
$0.5(x-2)^2 + (x-2) = 0$
Вынесем общий множитель $(x-2)$ за скобки:
$(x-2)(0.5(x-2) + 1) = 0$
$(x-2)(0.5x - 1 + 1) = 0$
$(x-2)(0.5x) = 0$
Отсюда получаем два корня: $x-2=0 \implies x=2$ или $0.5x=0 \implies x=0$.
Оба корня ($0$ и $2$) удовлетворяют условию $x \ge 0$.
2) Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Уравнение принимает вид:
$-(-x)+2 = 0.5(x-2)^2$
$x+2 = 0.5(x^2 - 4x + 4)$
Умножим на 2:
$2x+4 = x^2 - 4x + 4$
$x^2 - 6x = 0$
$x(x-6) = 0$
Получаем два возможных корня: $x=0$ и $x=6$.
Ни один из этих корней не удовлетворяет условию $x < 0$, поэтому в этом случае решений нет.
Объединяя результаты обоих случаев, получаем два корня.
Ответ: 0; 2.

22.33 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \begin{cases} -x^2 + 2, \text{ если } -2 \le x \le 1; \\ x, \text{ если } 1 < x \le 4. \end{cases}$

а) Найдите $f(-1,5)$; $f(1)$; $f(4)$.

б) Постройте график функции $y = f(x)$.

в) По графику определите, при каких значениях $x$ $f(x) = 2$, $f(x) = 1$, $f(x) = -2$.

Дана кусочно-заданная функция:

$f(x) = \begin{cases} -x^2 + 2, & \text{если } -2 \le x \le 1 \\ x, & \text{если } 1 < x \le 4 \end{cases}$

а) Найдите f(-1,5); f(1); f(4).

Чтобы найти значения функции в заданных точках, нужно определить, какому промежутку принадлежит аргумент $x$ и использовать соответствующую формулу.

• Вычисление $f(-1,5)$:
  Значение $x = -1,5$ принадлежит промежутку $-2 \le x \le 1$. Следовательно, используем формулу $f(x) = -x^2 + 2$.
  $f(-1,5) = -(-1,5)^2 + 2 = -2,25 + 2 = -0,25$.

• Вычисление $f(1)$:
  Значение $x = 1$ принадлежит промежутку $-2 \le x \le 1$. Следовательно, используем формулу $f(x) = -x^2 + 2$.
  $f(1) = -(1)^2 + 2 = -1 + 2 = 1$.

• Вычисление $f(4)$:
  Значение $x = 4$ принадлежит промежутку $1 < x \le 4$. Следовательно, используем формулу $f(x) = x$.
  $f(4) = 4$.

Ответ: $f(-1,5) = -0,25$; $f(1) = 1$; $f(4) = 4$.

б) Постройте график функции y = f(x).

График функции состоит из двух частей.

1. На промежутке $[-2; 1]$ строим график функции $y = -x^2 + 2$.
   Это часть параболы, ветви которой направлены вниз. Вершина параболы находится в точке с абсциссой $x_v = - \frac{0}{2 \cdot (-1)} = 0$. Ордината вершины $y_v = -(0)^2 + 2 = 2$. Точка вершины: $(0; 2)$.
   Найдем значения на концах промежутка:
   При $x = -2$, $y = -(-2)^2 + 2 = -4 + 2 = -2$. Точка $(-2; -2)$.
   При $x = 1$, $y = -(1)^2 + 2 = -1 + 2 = 1$. Точка $(1; 1)$.
   Обе конечные точки $(-2; -2)$ и $(1; 1)$ принадлежат графику (закрашенные точки).

2. На промежутке $(1; 4]$ строим график функции $y = x$.
   Это часть прямой, являющейся биссектрисой первого координатного угла.
   Найдем значения на концах промежутка:
   При $x \to 1^+$, $y \to 1$. Точка $(1; 1)$. Так как неравенство строгое ($x > 1$), эта точка выколота. Однако в первой части графика точка $(1; 1)$ включена, поэтому на общем графике разрыва в этой точке нет.
   При $x=4$, $y=4$. Точка $(4; 4)$. Так как неравенство нестрогое ($x \le 4$), эта точка принадлежит графику (закрашенная точка).

Таким образом, график функции $y=f(x)$ представляет собой кривую, состоящую из участка параболы от точки $(-2; -2)$ до точки $(1; 1)$ с вершиной в точке $(0; 2)$, и отрезка прямой от точки $(1; 1)$ до точки $(4; 4)$.

Ответ: График функции построен. Он состоит из участка параболы $y = -x^2 + 2$ на отрезке $[-2; 1]$ и участка прямой $y=x$ на полуинтервале $(1; 4]$.

в) По графику определите, при каких значениях x f(x) = 2, f(x) = 1, f(x) = -2.

Для нахождения искомых значений $x$ проведем на графике горизонтальные прямые и найдем абсциссы точек их пересечения с графиком $y = f(x)$.

• Найдем $x$, при которых $f(x) = 2$.
  Проводим прямую $y=2$. Она пересекает график в двух точках.
  Первая точка пересечения — это вершина параболы, ее абсцисса $x=0$.
  Вторая точка пересечения лежит на прямой $y=x$. Для нее $y=x=2$. Абсцисса этой точки $x=2$.
  Итак, $f(x)=2$ при $x=0$ и $x=2$.

• Найдем $x$, при которых $f(x) = 1$.
  Проводим прямую $y=1$. Она пересекает график в двух точках.
  Обе точки пересечения лежат на параболе $y = -x^2 + 2$. Найдем их абсциссы из уравнения: $-x^2+2=1 \Rightarrow x^2=1 \Rightarrow x=-1$ и $x=1$.
  Прямая $y=x$ также проходит через точку $(1; 1)$, что совпадает с одной из уже найденных точек.
  Итак, $f(x)=1$ при $x=-1$ и $x=1$.

• Найдем $x$, при которых $f(x) = -2$.
  Проводим прямую $y=-2$. Она пересекает график в одной точке, которая является левой конечной точкой параболического участка.
  Абсцисса этой точки $x=-2$.
  Итак, $f(x)=-2$ при $x=-2$.

Ответ: $f(x)=2$ при $x \in \{0; 2\}$; $f(x)=1$ при $x \in \{-1; 1\}$; $f(x)=-2$ при $x=-2$.

22.34 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \begin{cases} -3x^2 + 2, & \text{если } -1 \le x \le 1; \\ \frac{3}{x}, & \text{если } 1 < x \le 3. \end{cases}$

а) Найдите $f(-1)$; $f\left(\frac{1}{3}\right)$; $f(3)$.

б) Постройте график функции $y = f(x)$.

в) Перечислите свойства функции.

а)

Для нахождения значений функции в заданных точках необходимо определить, какому интервалу принадлежит аргумент $x$, и подставить его в соответствующую формулу.

1. Найдем $f(-1)$.
Значение $x = -1$ принадлежит отрезку $[-1, 1]$, поэтому используем первую формулу: $f(x) = -3x^2 + 2$.
$f(-1) = -3(-1)^2 + 2 = -3 \cdot 1 + 2 = -3 + 2 = -1$.

2. Найдем $f(\frac{1}{3})$.
Значение $x = \frac{1}{3}$ также принадлежит отрезку $[-1, 1]$, поэтому снова используем первую формулу: $f(x) = -3x^2 + 2$.
$f(\frac{1}{3}) = -3(\frac{1}{3})^2 + 2 = -3 \cdot \frac{1}{9} + 2 = -\frac{1}{3} + 2 = \frac{5}{3}$.

3. Найдем $f(3)$.
Значение $x = 3$ принадлежит полуинтервалу $(1, 3]$, поэтому используем вторую формулу: $f(x) = \frac{3}{x}$.
$f(3) = \frac{3}{3} = 1$.

Ответ: $f(-1) = -1$; $f(\frac{1}{3}) = \frac{5}{3}$; $f(3) = 1$.

б)

График функции $y = f(x)$ состоит из двух частей, построенных на разных промежутках.

1. На отрезке $[-1, 1]$ строим график функции $y = -3x^2 + 2$.
Это парабола, ветви которой направлены вниз. Вершина параболы находится в точке $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot (-3)} = 0$. Ордината вершины $y_v = -3(0)^2 + 2 = 2$. Таким образом, вершина параболы — точка $(0, 2)$.
Найдем значения на концах отрезка:
$f(-1) = -1$, точка $(-1, -1)$.
$f(1) = -3(1)^2 + 2 = -1$, точка $(1, -1)$.
Обе точки принадлежат графику (закрашенные).

2. На полуинтервале $(1, 3]$ строим график функции $y = \frac{3}{x}$.
Это часть гиперболы, расположенной в первой координатной четверти.
Найдем значения на концах промежутка:
При $x \to 1^+$, $y \to \frac{3}{1} = 3$. Точка $(1, 3)$ не принадлежит графику (выколотая).
При $x = 3$, $y = \frac{3}{3} = 1$. Точка $(3, 1)$ принадлежит графику (закрашенная).

Объединяем эти две части на одной координатной плоскости.

Ответ:

в)

Основные свойства функции $y=f(x)$:

Ответ:

• Область определения функции: $D(f) = [-1, 3]$.
• Область значений функции: $E(f) = [-1, 3)$.
• Нули функции (точки пересечения с осью Ox): $f(x)=0$ при $x = -\frac{\sqrt{6}}{3}$ и $x = \frac{\sqrt{6}}{3}$.
• Промежутки знакопостоянства:
  • $f(x) > 0$ при $x \in (-\frac{\sqrt{6}}{3}, \frac{\sqrt{6}}{3}) \cup (1, 3]$;
  • $f(x) < 0$ при $x \in [-1, -\frac{\sqrt{6}}{3}) \cup (\frac{\sqrt{6}}{3}, 1]$.
• Четность: функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида), так как ее область определения несимметрична относительно нуля.
• Монотонность:
  • функция возрастает на отрезке $[-1, 0]$;
  • функция убывает на отрезке $[0, 1]$ и на полуинтервале $(1, 3]$.
• Экстремумы:
  • точка максимума $x_{max} = 0$, значение в максимуме $y_{max} = 2$;
  • наименьшее значение функции $y_{min} = -1$ достигается в точках $x=-1$ и $x=1$;
  • наибольшего значения функция не достигает (верхняя грань значений равна 3).
• Непрерывность: функция непрерывна на множестве $[-1, 1) \cup (1, 3]$. В точке $x=1$ функция имеет разрыв первого рода (скачок), так как $\lim_{x \to 1^-} f(x) = -1$, а $\lim_{x \to 1^+} f(x) = 3$.

22.35 Пусть A — наибольшее значение функции $y = \frac{3}{x} - 2$ на отрезке $[1; 3]$, а B — наименьшее значение функции $y = 1 - x$ на отрезке $[-4; 3]$. Сравните A и B. Сделайте графическую иллюстрацию.

1. Нахождение значения А

Нам нужно найти наибольшее значение функции $y = \frac{3}{x} - 2$ на отрезке $[1; 3]$. Данная функция является обратной пропорциональностью, сдвинутой на 2 единицы вниз по оси ординат. График функции $y = \frac{k}{x}$ при $k > 0$ является убывающим на каждом из промежутков $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$. Поскольку отрезок $[1; 3]$ полностью лежит в области $x > 0$, функция $y = \frac{3}{x} - 2$ монотонно убывает на этом отрезке. Следовательно, своего наибольшего значения она достигает в левой границе отрезка, то есть при $x = 1$. Вычислим это значение: $A = y(1) = \frac{3}{1} - 2 = 3 - 2 = 1$.

Ответ: $A = 1$.

2. Нахождение значения В

Теперь найдем наименьшее значение функции $y = 1 - x$ на отрезке $[-4; 3]$. Это линейная функция вида $y = kx + b$, где угловой коэффициент $k = -1$. Так как $k < 0$, функция является монотонно убывающей на всей числовой прямой, и, в частности, на отрезке $[-4; 3]$. Наименьшее значение убывающей функции на отрезке достигается в его правой границе, то есть при $x = 3$. Вычислим это значение: $B = y(3) = 1 - 3 = -2$.

Ответ: $B = -2$.

3. Сравнение А и В

Мы получили значения $A = 1$ и $B = -2$. Сравнивая их, видим, что $1 > -2$. Таким образом, $A > B$.

Ответ: $A > B$.

4. Графическая иллюстрация

Построим графики функций $y = \frac{3}{x} - 2$ на отрезке $[1; 3]$ и $y = 1 - x$ на отрезке $[-4; 3]$ в одной системе координат.

На графике синим цветом показана часть гиперболы $y = \frac{3}{x} - 2$ на отрезке $[1; 3]$. Наибольшее значение $A=1$ достигается в точке $(1; 1)$.
Красным цветом показан отрезок прямой $y = 1 - x$ на отрезке $[-4; 3]$. Наименьшее значение $B=-2$ достигается в точке $(3; -2)$.