Номер 22.32, страница 135, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 22. Как построить график функции у = f(х) + m, если известен график функции у = f(х). Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 22.32, страница 135.

Условие.

22.32 a) $-\sqrt{x} + 4 = 3x^2$;

б) $\left|x\right| - 3 = -\frac{4}{x}$;

в) $\sqrt{x-1} = \frac{4}{x}$;

г) $-\left|x\right| + 2 = 0.5(x-2)^2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) Решим уравнение $-\sqrt{x+4} = 3x^2$.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x+4 \ge 0$, откуда $x \ge -4$.
Рассмотрим левую и правую части уравнения.
Левая часть: $-\sqrt{x+4}$. Поскольку квадратный корень всегда неотрицателен ($\sqrt{x+4} \ge 0$), то левая часть всегда неположительна ($-\sqrt{x+4} \le 0$).
Правая часть: $3x^2$. Поскольку квадрат числа всегда неотрицателен ($x^2 \ge 0$), то правая часть всегда неотрицательна ($3x^2 \ge 0$).
Равенство возможно только в том случае, если обе части одновременно равны нулю.
1) Приравняем правую часть к нулю: $3x^2 = 0 \implies x = 0$.
2) Приравняем левую часть к нулю: $-\sqrt{x+4} = 0 \implies x+4 = 0 \implies x = -4$.
Значения $x$, при которых левая и правая части обращаются в ноль, не совпадают. Если $x=0$, то левая часть равна $-\sqrt{0+4} = -2$, а правая равна $0$. Равенство $-2=0$ неверно. Если $x=-4$, то левая часть равна $-\sqrt{-4+4}=0$, а правая равна $3(-4)^2 = 48$. Равенство $0=48$ неверно.
При всех остальных значениях $x$ из ОДЗ левая часть будет строго отрицательной, а правая — строго положительной, поэтому равенство невозможно.
Следовательно, у уравнения нет корней.
Ответ: нет корней.

б) Решим уравнение $|x|-3 = -\frac{4}{x}$.
ОДЗ: $x \ne 0$.
Рассмотрим два случая в зависимости от знака $x$.
1) Если $x > 0$, то $|x| = x$. Уравнение принимает вид:
$x - 3 = -\frac{4}{x}$
Умножим обе части на $x$ (так как $x > 0$):
$x^2 - 3x = -4$
$x^2 - 3x + 4 = 0$
Найдем дискриминант этого квадратного уравнения: $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 9 - 16 = -7$.
Поскольку $D < 0$, действительных корней в этом случае нет.
2) Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Уравнение принимает вид:
$-x - 3 = -\frac{4}{x}$
Умножим обе части на $x$ (так как $x < 0$):
$-x^2 - 3x = -4$
$x^2 + 3x - 4 = 0$
По теореме Виета, сумма корней равна $-3$, а произведение равно $-4$. Корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -4$.
Проверим, удовлетворяют ли корни условию $x < 0$.
$x_1 = 1$ не удовлетворяет условию $x < 0$, поэтому это посторонний корень.
$x_2 = -4$ удовлетворяет условию $x < 0$.
Проверим найденный корень подстановкой в исходное уравнение: $|-4| - 3 = 4 - 3 = 1$. Правая часть: $-\frac{4}{-4} = 1$. Равенство $1=1$ верное.
Ответ: -4.

в) Решим уравнение $\sqrt{x-1} = \frac{4}{x}$.
ОДЗ: $x-1 \ge 0$ и $x \ne 0$. Объединяя условия, получаем $x \ge 1$.
На области допустимых значений обе части уравнения неотрицательны, поэтому можно возвести обе части в квадрат:
$(\sqrt{x-1})^2 = (\frac{4}{x})^2$
$x-1 = \frac{16}{x^2}$
Умножим на $x^2$ (так как $x^2 > 0$ при $x \ge 1$):
$x^2(x-1) = 16$
$x^3 - x^2 - 16 = 0$
Это кубическое уравнение. Попробуем найти его рациональные корни. Если они есть, то они должны быть среди делителей свободного члена (числа 16). С учетом ОДЗ $x \ge 1$, возможные целые корни: $1, 2, 4, 8, 16$.
Проверим их:
При $x=1$: $1^3 - 1^2 - 16 = -16 \ne 0$.
При $x=2$: $2^3 - 2^2 - 16 = 8 - 4 - 16 = -12 \ne 0$.
При $x=4$: $4^3 - 4^2 - 16 = 64 - 16 - 16 = 32 \ne 0$.
Целых и рациональных корней у уравнения нет.
Рассмотрим поведение функций в левой и правой частях исходного уравнения: $y_1 = \sqrt{x-1}$ и $y_2 = \frac{4}{x}$.
На ОДЗ ($x \ge 1$) функция $y_1$ является возрастающей, а функция $y_2$ — убывающей. Это означает, что графики этих функций могут пересечься не более одного раза, следовательно, уравнение имеет не более одного корня.
Чтобы доказать, что корень существует, найдем значения функций на концах некоторого отрезка.
При $x=2$: $y_1 = \sqrt{2-1}=1$, $y_2 = \frac{4}{2}=2$. Здесь $y_1 < y_2$.
При $x=3$: $y_1 = \sqrt{3-1}=\sqrt{2}\approx 1.41$, $y_2 = \frac{4}{3} \approx 1.33$. Здесь $y_1 > y_2$.
Поскольку функции непрерывны, а на одном конце отрезка $[2, 3]$ значение $y_1$ меньше $y_2$, а на другом — больше, то где-то внутри интервала $(2, 3)$ их значения совпадают.
Таким образом, уравнение имеет единственный корень, и этот корень является иррациональным числом, лежащим в интервале $(2, 3)$.
Ответ: уравнение имеет один иррациональный корень $x \in (2, 3)$.

г) Решим уравнение $-|x|+2 = 0.5(x-2)^2$.
Это уравнение удобно решать, раскрыв модуль для двух случаев.
1) Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Уравнение принимает вид:
$-x+2 = 0.5(x-2)^2$
$-(x-2) = 0.5(x-2)^2$
Перенесем все в одну сторону:
$0.5(x-2)^2 + (x-2) = 0$
Вынесем общий множитель $(x-2)$ за скобки:
$(x-2)(0.5(x-2) + 1) = 0$
$(x-2)(0.5x - 1 + 1) = 0$
$(x-2)(0.5x) = 0$
Отсюда получаем два корня: $x-2=0 \implies x=2$ или $0.5x=0 \implies x=0$.
Оба корня ($0$ и $2$) удовлетворяют условию $x \ge 0$.
2) Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Уравнение принимает вид:
$-(-x)+2 = 0.5(x-2)^2$
$x+2 = 0.5(x^2 - 4x + 4)$
Умножим на 2:
$2x+4 = x^2 - 4x + 4$
$x^2 - 6x = 0$
$x(x-6) = 0$
Получаем два возможных корня: $x=0$ и $x=6$.
Ни один из этих корней не удовлетворяет условию $x < 0$, поэтому в этом случае решений нет.
Объединяя результаты обоих случаев, получаем два корня.
Ответ: 0; 2.