Номер 22.27, страница 134, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 22. Как построить график функции у = f(х) + m, если известен график функции у = f(х). Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 22.27, страница 134.

Условие.

22.27 Используя график функции $y = \frac{4}{x} + 2$, найдите:

а) значение функции при $x = -4; -2; 1;$

б) значение аргумента, если $y = 3; 0; -2;$

в) значения аргумента, при которых $y < 0, y > 0;$

г) уравнения асимптот графика функции.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) значение функции при x = -4; -2; 1;

Для нахождения значения функции $y$ при заданных значениях аргумента $x$, необходимо подставить эти значения в уравнение функции $y = \frac{4}{x} + 2$.

• При $x = -4$:
  $y = \frac{4}{-4} + 2 = -1 + 2 = 1$.
• При $x = -2$:
  $y = \frac{4}{-2} + 2 = -2 + 2 = 0$.
• При $x = 1$:
  $y = \frac{4}{1} + 2 = 4 + 2 = 6$.

Ответ: при $x = -4$ значение функции $y = 1$; при $x = -2$ значение функции $y = 0$; при $x = 1$ значение функции $y = 6$.

б) значение аргумента, если y = 3; 0; -2;

Для нахождения значения аргумента $x$ при заданных значениях функции $y$, подставим эти значения в уравнение функции $y = \frac{4}{x} + 2$ и решим полученные уравнения относительно $x$.

• Если $y = 3$:
  $3 = \frac{4}{x} + 2$
  $3 - 2 = \frac{4}{x}$
  $1 = \frac{4}{x}$
  $x = 4$.
• Если $y = 0$:
  $0 = \frac{4}{x} + 2$
  $-2 = \frac{4}{x}$
  $x = \frac{4}{-2}$
  $x = -2$.
• Если $y = -2$:
  $-2 = \frac{4}{x} + 2$
  $-2 - 2 = \frac{4}{x}$
  $-4 = \frac{4}{x}$
  $x = \frac{4}{-4}$
  $x = -1$.

Ответ: при $y = 3$ значение аргумента $x = 4$; при $y = 0$ значение аргумента $x = -2$; при $y = -2$ значение аргумента $x = -1$.

в) значения аргумента, при которых y < 0, y > 0;

Чтобы найти значения $x$, при которых $y < 0$, решим неравенство:

$\frac{4}{x} + 2 < 0$

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{4 + 2x}{x} < 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем точки, в которых числитель или знаменатель равны нулю:
Нуль числителя: $4 + 2x = 0 \implies 2x = -4 \implies x = -2$.
Нуль знаменателя: $x = 0$.
Эти точки разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty, -2)$, $(-2, 0)$ и $(0, \infty)$. Определим знак выражения $\frac{4+2x}{x}$ в каждом из них:
- в интервале $(-\infty, -2)$ (например, при $x=-3$): $\frac{4+2(-3)}{-3} = \frac{-2}{-3} > 0$
- в интервале $(-2, 0)$ (например, при $x=-1$): $\frac{4+2(-1)}{-1} = \frac{2}{-1} < 0$
- в интервале $(0, \infty)$ (например, при $x=1$): $\frac{4+2(1)}{1} = \frac{6}{1} > 0$
Таким образом, $y < 0$ при $x \in (-2, 0)$.

Чтобы найти значения $x$, при которых $y > 0$, решим неравенство $\frac{4+2x}{x} > 0$. Из анализа знаков, проведенного выше, следует, что $y > 0$ при $x \in (-\infty, -2) \cup (0, \infty)$.

Ответ: $y < 0$ при $x \in (-2, 0)$; $y > 0$ при $x \in (-\infty, -2) \cup (0, \infty)$.

г) уравнения асимптот графика функции.

График функции $y = \frac{4}{x} + 2$ является гиперболой. Асимптоты — это прямые, к которым график функции приближается бесконечно близко.

Вертикальная асимптота существует там, где функция не определена, то есть где знаменатель дроби обращается в ноль. В нашем случае это $x=0$. Итак, уравнение вертикальной асимптоты: $x=0$.

Горизонтальная асимптота — это прямая, к которой стремится значение функции, когда $x$ стремится к $+\infty$ или $-\infty$. Найдем предел функции:

$\lim_{x\to\pm\infty} (\frac{4}{x} + 2) = 0 + 2 = 2$

Следовательно, уравнение горизонтальной асимптоты: $y=2$.

Ответ: вертикальная асимптота: $x=0$; горизонтальная асимптота: $y=2$.