Номер 22.22, страница 133, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 22. Как построить график функции у = f(х) + m, если известен график функции у = f(х). Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 22.22, страница 133.

Условие.

22.22 Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $y = -|x| + 2$:

а) на отрезке $ [-2; -1] $;

б) на полуинтервале $ [-3; 1) $;

в) на отрезке $ [-1; 2] $;

г) на луче $ (-\infty; 1] $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции $y = -|x| + 2$ на заданных промежутках, проанализируем её поведение.
Функция может быть записана в виде:

$y = x + 2$, при $x < 0$

$y = -x + 2$, при $x \ge 0$

Из этого следует, что на промежутке $(-\infty, 0)$ функция возрастает, а на промежутке $(0, +\infty)$ — убывает. В точке $x=0$ функция достигает своего максимума, равного $y(0) = -|0| + 2 = 2$.

а) на отрезке [-2; -1]

Данный отрезок $[-2; -1]$ полностью лежит в области, где $x < 0$. На этом промежутке функция имеет вид $y = x + 2$ и является возрастающей.
Следовательно, наименьшее значение достигается на левом конце отрезка, а наибольшее — на правом.
Наименьшее значение: $y_{наим} = y(-2) = -|-2| + 2 = -2 + 2 = 0$.
Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(-1) = -|-1| + 2 = -1 + 2 = 1$.

Ответ: наименьшее значение 0, наибольшее значение 1.

б) на полуинтервале [-3; 1)

Данный полуинтервал $[-3; 1)$ включает точку максимума $x=0$.
Наибольшее значение функции на этом промежутке равно значению в точке максимума: $y_{наиб} = y(0) = -|0| + 2 = 2$.
Для нахождения наименьшего значения сравним значения на концах промежутка. Левый конец $x=-3$ включен, правый $x=1$ — не включен.
Значение на левом конце: $y(-3) = -|-3| + 2 = -3 + 2 = -1$.
Поскольку на промежутке $[0; 1)$ функция убывает, она стремится к значению $y(1) = -|1| + 2 = 1$.
Сравнивая значение $y(-3)=-1$ с значениями на остальной части промежутка, видим, что $-1$ является наименьшим значением.

Ответ: наименьшее значение -1, наибольшее значение 2.

в) на отрезке [-1; 2]

Данный отрезок $[-1; 2]$ также включает точку максимума $x=0$.
Следовательно, наибольшее значение функции на этом отрезке равно $y_{наиб} = y(0) = 2$.
Для нахождения наименьшего значения нужно сравнить значения функции на концах отрезка:
$y(-1) = -|-1| + 2 = -1 + 2 = 1$.
$y(2) = -|2| + 2 = -2 + 2 = 0$.
Сравнивая эти два значения, получаем, что наименьшее из них равно 0.
$y_{наим} = 0$.

Ответ: наименьшее значение 0, наибольшее значение 2.

г) на луче (-∞; 1]

Данный луч $(-\infty; 1]$ содержит точку максимума $x=0$.
Наибольшее значение функции на этом луче равно $y_{наиб} = y(0) = 2$.
Рассмотрим поведение функции на левой части луча, когда $x$ стремится к $-\infty$. На этом участке ($x<0$) функция имеет вид $y = x + 2$.
$\lim_{x\to-\infty} (x+2) = -\infty$.
Это означает, что функция не ограничена снизу, и её значения могут быть сколь угодно малыми. Таким образом, наименьшего значения на данном луче не существует.

Ответ: наибольшее значение 2, наименьшего значения не существует.