Номер 22.15, страница 132, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 22. Как построить график функции у = f(х) + m, если известен график функции у = f(х). Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 22.15, страница 132.

Условие.

22.15 Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $y = 2x^2 - 5$:

а) на отрезке $[-1; 1];

б) на луче $[0; +\infty);

в) на отрезке $[-2; 1];

г) на луче $(-\infty; 2].

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Данная функция $y = 2x^2 - 5$ является квадратичной. Её график — парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=2 > 0$).
Найдём координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$, которая является точкой минимума для данной функции.
Абсцисса вершины: $x_v = -\frac{b}{2a}$. В нашем случае $a=2$, $b=0$, поэтому $x_v = -\frac{0}{2 \cdot 2} = 0$.
Ордината вершины: $y_v = y(x_v) = y(0) = 2(0)^2 - 5 = -5$.
Следовательно, вершина параболы находится в точке $(0, -5)$. Это точка глобального минимума функции. На промежутке $(-\infty; 0]$ функция убывает, а на промежутке $[0; +\infty)$ — возрастает.

а) на отрезке [-1; 1]

Вершина параболы $x_v=0$ принадлежит данному отрезку. Так как это точка минимума, то наименьшее значение функции на отрезке будет равно значению функции в этой точке.
$y_{наим} = y(0) = -5$.
Наибольшее значение на отрезке будет достигаться на одном из его концов. Вычислим значения функции в точках $x=-1$ и $x=1$.
$y(-1) = 2(-1)^2 - 5 = 2 - 5 = -3$.
$y(1) = 2(1)^2 - 5 = 2 - 5 = -3$.
Наибольшее из этих значений равно -3.
$y_{наиб} = -3$.
Ответ: $y_{наим} = -5$, $y_{наиб} = -3$.

б) на луче [0; +∞)

Начало луча совпадает с вершиной параболы $x_v=0$. На этом луче ($x \geq 0$) функция монотонно возрастает.
Следовательно, наименьшее значение достигается в начальной точке луча, $x=0$.
$y_{наим} = y(0) = -5$.
Поскольку функция неограниченно возрастает при $x \to +\infty$, наибольшего значения на данном луче не существует.
Ответ: $y_{наим} = -5$, наибольшего значения не существует.

в) на отрезке [-2; 1]

Вершина параболы $x_v=0$ принадлежит данному отрезку. Значит, наименьшее значение функции на отрезке достигается в этой точке.
$y_{наим} = y(0) = -5$.
Наибольшее значение ищем на концах отрезка. Вычислим значения функции в точках $x=-2$ и $x=1$.
$y(-2) = 2(-2)^2 - 5 = 2 \cdot 4 - 5 = 8 - 5 = 3$.
$y(1) = 2(1)^2 - 5 = 2 - 5 = -3$.
Сравниваем полученные значения: $3 > -3$. Следовательно, наибольшее значение равно 3.
$y_{наиб} = 3$.
Ответ: $y_{наим} = -5$, $y_{наиб} = 3$.

г) на луче (–∞; 2]

Вершина параболы $x_v=0$ принадлежит данному лучу. Так как это точка минимума функции, то на этом луче она также будет точкой наименьшего значения.
$y_{наим} = y(0) = -5$.
Поскольку на промежутке $(-\infty; 0]$ функция убывает от $+\infty$ до $-5$, а на промежутке $[0; 2]$ возрастает от $-5$ до $y(2)=2(2)^2-5 = 3$, то при $x \to -\infty$ значения функции неограниченно растут. Следовательно, наибольшего значения на данном луче не существует.
Ответ: $y_{наим} = -5$, наибольшего значения не существует.