Номер 22.17, страница 132, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 22. Как построить график функции у = f(х) + m, если известен график функции у = f(х). Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 22.17, страница 132.

Условие.

22.17 Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $y = -3x^2 + 4$:

a) на отрезке $[-1; 1];$

б) на открытом луче $(-2; +\infty);$

в) на интервале $(-3; 1);$

г) на отрезке $[-1; 0].$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции $y = -3x^2 + 4$ на различных промежутках, сначала проанализируем саму функцию.

Это квадратичная функция, график которой — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $a = -3$, он отрицательный, следовательно, ветви параболы направлены вниз. Это означает, что функция имеет точку максимума в своей вершине.

Найдем координаты вершины параболы $(x_в, y_в)$. Абсцисса вершины: $x_в = -\frac{b}{2a}$. В нашем случае $a = -3$, $b = 0$. $x_в = -\frac{0}{2 \cdot (-3)} = 0$.

Ордината вершины (максимальное значение функции): $y_в = y(x_в) = y(0) = -3 \cdot 0^2 + 4 = 4$.

Вершина параболы находится в точке $(0; 4)$. Функция возрастает на промежутке $(-\infty; 0]$ и убывает на промежутке $[0; +\infty)$.

а) на отрезке [-1; 1]

Чтобы найти наименьшее и наибольшее значения непрерывной функции на отрезке, нужно вычислить ее значения в критических точках, принадлежащих отрезку, и на концах отрезка, а затем выбрать из них наименьшее и наибольшее.

Вершина параболы $x_в = 0$ принадлежит отрезку $[-1; 1]$. Значение функции в этой точке является наибольшим: $y(0) = 4$.

Вычислим значения функции на концах отрезка: $y(-1) = -3(-1)^2 + 4 = -3 \cdot 1 + 4 = 1$. $y(1) = -3(1)^2 + 4 = -3 \cdot 1 + 4 = 1$.

Сравнивая значения $y(0)=4$, $y(-1)=1$ и $y(1)=1$, заключаем, что наибольшее значение функции на отрезке равно $4$, а наименьшее равно $1$.

Ответ: наименьшее значение $y_{наим} = 1$, наибольшее значение $y_{наиб} = 4$.

б) на открытом луче (-2; +∞)

Вершина параболы $x_в = 0$ принадлежит данному промежутку. Так как ветви параболы направлены вниз, в точке вершины функция достигает своего глобального максимума, который и будет наибольшим значением на этом луче. $y_{наиб} = y(0) = 4$.

Для определения наименьшего значения рассмотрим поведение функции при $x \to +\infty$. Так как коэффициент при $x^2$ отрицателен, при неограниченном возрастании $x$ значение функции неограниченно убывает ($y \to -\infty$). Следовательно, функция не ограничена снизу на данном луче, и наименьшего значения не существует.

Ответ: наибольшее значение $y_{наиб} = 4$, наименьшего значения не существует.

в) на интервале (-3; 1)

Вершина параболы $x_в = 0$ принадлежит интервалу $(-3; 1)$. Следовательно, наибольшее значение функции на этом интервале равно значению в вершине. $y_{наиб} = y(0) = 4$.

Для нахождения наименьшего значения рассмотрим поведение функции на границах интервала. Поскольку интервал открытый, значения в точках $x=-3$ и $x=1$ не достигаются. Вычислим предельные значения: при $x \to -3$, $y \to -3(-3)^2 + 4 = -27 + 4 = -23$. при $x \to 1$, $y \to -3(1)^2 + 4 = -3 + 4 = 1$.

Так как функция может принимать значения сколь угодно близкие к $-23$, но никогда не достигает этого значения (поскольку $x \ne -3$), наименьшего значения на данном интервале не существует.

Ответ: наибольшее значение $y_{наиб} = 4$, наименьшего значения не существует.

г) на отрезке [-1; 0]

Вершина параболы $x_в = 0$ является правым концом отрезка $[-1; 0]$. На всем этом отрезке функция возрастает (так как он является частью промежутка возрастания $(-\infty; 0]$).

Следовательно, наименьшее значение функция принимает в левой крайней точке отрезка, а наибольшее — в правой. Наименьшее значение: $y_{наим} = y(-1) = -3(-1)^2 + 4 = -3 + 4 = 1$. Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(0) = -3(0)^2 + 4 = 4$.

Ответ: наименьшее значение $y_{наим} = 1$, наибольшее значение $y_{наиб} = 4$.