Номер 22.18, страница 132, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 22. Как построить график функции у = f(х) + m, если известен график функции у = f(х). Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 22.18, страница 132.

Условие.

22.18 Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $y = -\frac{1}{x} + 1$:

а) на отрезке $[1; 3]$;

б) на луче $[1; +\infty)$;

в) на луче $(-\infty; -1]$;

г) на отрезке $[-4; -2]$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Данная функция $y = -\frac{1}{x} + 1$ является обратной пропорциональностью, график которой — гипербола. Область определения функции: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Для анализа монотонности функции найдем ее производную: $y' = \left(-\frac{1}{x} + 1\right)' = \left(-x^{-1} + 1\right)' = -(-1)x^{-2} + 0 = \frac{1}{x^2}$. Так как $x^2 > 0$ для любого $x$ из области определения, то производная $y' = \frac{1}{x^2}$ всегда положительна. Следовательно, функция $y = -\frac{1}{x} + 1$ возрастает на каждом из промежутков $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$. Это означает, что на любом отрезке, который целиком содержится в одном из этих промежутков, наименьшее значение функция принимает на левом конце отрезка, а наибольшее — на правом.

а) на отрезке [1; 3]

Данный отрезок $[1; 3]$ принадлежит промежутку $(0; +\infty)$, на котором функция возрастает. Следовательно, наименьшее значение функции будет при $x = 1$, а наибольшее — при $x = 3$. Вычислим эти значения: Наименьшее значение: $y_{наим} = y(1) = -\frac{1}{1} + 1 = -1 + 1 = 0$. Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(3) = -\frac{1}{3} + 1 = \frac{2}{3}$.
Ответ: наименьшее значение $0$, наибольшее значение $\frac{2}{3}$.

б) на луче [1; +∞)

Данный луч $[1; +\infty)$ принадлежит промежутку $(0; +\infty)$, на котором функция возрастает. Наименьшее значение функция принимает в начальной точке луча, то есть при $x = 1$. $y_{наим} = y(1) = -\frac{1}{1} + 1 = 0$. Поскольку функция возрастает на этом луче, она будет стремиться к своему пределу при $x \to +\infty$. $\lim_{x \to +\infty} \left(-\frac{1}{x} + 1\right) = 0 + 1 = 1$. Функция приближается к значению $1$, но никогда его не достигает. Таким образом, наибольшего значения на данном луче не существует.
Ответ: наименьшее значение $0$, наибольшего значения не существует.

в) на луче (-∞; -1]

Данный луч $(-\infty; -1]$ принадлежит промежутку $(-\infty; 0)$, на котором функция возрастает. Наибольшее значение функция принимает в конечной точке луча, то есть при $x = -1$. $y_{наиб} = y(-1) = -\frac{1}{-1} + 1 = 1 + 1 = 2$. Поскольку функция возрастает на этом луче, она будет стремиться к своему пределу при $x \to -\infty$. $\lim_{x \to -\infty} \left(-\frac{1}{x} + 1\right) = 0 + 1 = 1$. Функция принимает значения от $1$ (не включая) до $2$ (включая). Таким образом, наименьшего значения на данном луче не существует, так как функция стремится к $1$, но никогда его не достигает.
Ответ: наибольшее значение $2$, наименьшего значения не существует.

г) на отрезке [-4; -2]

Данный отрезок $[-4; -2]$ принадлежит промежутку $(-\infty; 0)$, на котором функция возрастает. Следовательно, наименьшее значение функции будет при $x = -4$, а наибольшее — при $x = -2$. Вычислим эти значения: Наименьшее значение: $y_{наим} = y(-4) = -\frac{1}{-4} + 1 = \frac{1}{4} + 1 = \frac{5}{4}$. Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(-2) = -\frac{1}{-2} + 1 = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}$.
Ответ: наименьшее значение $\frac{5}{4}$, наибольшее значение $\frac{3}{2}$.