Номер 22.25, страница 134, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 22. Как построить график функции у = f(х) + m, если известен график функции у = f(х). Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 22.25, страница 134.

Условие.

22.25 Используя график функции $y = -\sqrt{x} + 2$, найдите:

а) значение функции при $x = 0; 1; 9;

б) значение аргумента, если $y = 1; y = 0; y = -2;

в) множество значений функции;

г) значения аргумента, при которых $y > 0, y < 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Для решения задачи проанализируем функцию $y = -\sqrt{x} + 2$ и определим ключевые точки и свойства ее графика.

Область определения функции задается условием $x \ge 0$, то есть $x \in [0; +\infty)$.

График функции можно получить из базового графика $y = \sqrt{x}$ с помощью преобразований:
1. $y = \sqrt{x} \rightarrow y = -\sqrt{x}$ (симметричное отражение относительно оси Ox).
2. $y = -\sqrt{x} \rightarrow y = -\sqrt{x} + 2$ (параллельный перенос вдоль оси Oy на 2 единицы вверх).

Начальная точка графика — $(0; 2)$. С увеличением $x$ значения $y$ убывают. Найдем точку пересечения с осью Ox, решив уравнение $y=0$:
$-\sqrt{x} + 2 = 0 \Rightarrow \sqrt{x} = 2 \Rightarrow x = 4$.
Точка пересечения с осью Ox — $(4; 0)$.

а) значение функции при x = 0; 1; 9;

Найдем значения $y$, подставляя соответствующие значения $x$ в формулу функции $y = -\sqrt{x} + 2$.
При $x = 0$: $y = -\sqrt{0} + 2 = 0 + 2 = 2$.
При $x = 1$: $y = -\sqrt{1} + 2 = -1 + 2 = 1$.
При $x = 9$: $y = -\sqrt{9} + 2 = -3 + 2 = -1$.
Ответ: при $x=0$, $y=2$; при $x=1$, $y=1$; при $x=9$, $y=-1$.

б) значение аргумента, если y = 1; y = 0; y = -2;

Найдем значения $x$, подставляя соответствующие значения $y$ в формулу функции и решая получившиеся уравнения.
Если $y = 1$:
$1 = -\sqrt{x} + 2$
$\sqrt{x} = 2 - 1$
$\sqrt{x} = 1$
$x = 1$.

Если $y = 0$:
$0 = -\sqrt{x} + 2$
$\sqrt{x} = 2$
$x = 4$.

Если $y = -2$:
$-2 = -\sqrt{x} + 2$
$\sqrt{x} = 2 - (-2)$
$\sqrt{x} = 4$
$x = 16$.
Ответ: при $y=1$, $x=1$; при $y=0$, $x=4$; при $y=-2$, $x=16$.

в) множество значений функции;

Множество значений функции — это все возможные значения, которые может принимать $y$.
Поскольку $\sqrt{x} \ge 0$ для всех $x$ из области определения, то $-\sqrt{x} \le 0$.
Прибавляя 2 к обеим частям неравенства, получаем:
$-\sqrt{x} + 2 \le 2$, то есть $y \le 2$.
Максимальное значение функции равно 2 (при $x=0$), и функция может принимать любые значения, меньшие или равные 2.
Ответ: $E(y) = (-\infty; 2]$.

г) значения аргумента, при которых y > 0, y < 0.

Найдем значения $x$, при которых $y > 0$. Для этого решим неравенство:
$-\sqrt{x} + 2 > 0$
$2 > \sqrt{x}$
Так как обе части неравенства неотрицательны, можем возвести их в квадрат:
$4 > x$.
С учетом области определения $x \ge 0$, получаем, что $y>0$ при $0 \le x < 4$.

Найдем значения $x$, при которых $y < 0$. Для этого решим неравенство:
$-\sqrt{x} + 2 < 0$
$2 < \sqrt{x}$
Возведем обе части в квадрат:
$4 < x$.
То есть, $y<0$ при $x > 4$.
Ответ: $y>0$ при $x \in [0; 4)$; $y<0$ при $x \in (4; +\infty)$.