Номер 22.28, страница 134, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 22. Как построить график функции у = f(х) + m, если известен график функции у = f(х). Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 22.28, страница 134.

Условие.

22.28 Используя график функции $y = -\frac{6}{x} - 3$, найдите:

a) значение функции при $x = -3; 2; 6;$

б) значение аргумента, если $y = 0; -1; 3;$

в) значения аргумента, при которых $y > 0, y < 0;$

г) уравнения асимптот графика функции.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) значение функции при x = -3; 2; 6;

Чтобы найти значение функции (y) при заданных значениях аргумента (x), необходимо подставить эти значения в уравнение функции $y = \frac{6}{x} - 3$. Графически это означает найти на графике функции точки с заданными абсциссами и определить их ординаты.

• При $x = -3$:
  $y = \frac{6}{-3} - 3 = -2 - 3 = -5$
• При $x = 2$:
  $y = \frac{6}{2} - 3 = 3 - 3 = 0$
• При $x = 6$:
  $y = \frac{6}{6} - 3 = 1 - 3 = -2$

Ответ: при $x = -3$ значение функции равно -5; при $x = 2$ значение функции равно 0; при $x = 6$ значение функции равно -2.

б) значение аргумента, если y = 0; -1; 3;

Чтобы найти значение аргумента (x), если известно значение функции (y), необходимо подставить значение $y$ в уравнение функции и решить полученное уравнение относительно $x$. Графически это соответствует нахождению точек на графике с заданной ординатой и определению их абсцисс.

• Если $y = 0$:
  $0 = \frac{6}{x} - 3$
  $3 = \frac{6}{x}$
  $3x = 6$
  $x = 2$
• Если $y = -1$:
  $-1 = \frac{6}{x} - 3$
  $2 = \frac{6}{x}$
  $2x = 6$
  $x = 3$
• Если $y = 3$:
  $3 = \frac{6}{x} - 3$
  $6 = \frac{6}{x}$
  $6x = 6$
  $x = 1$

Ответ: $y=0$ при $x=2$; $y=-1$ при $x=3$; $y=3$ при $x=1$.

в) значения аргумента, при которых y > 0, y < 0;

Чтобы найти, при каких значениях аргумента функция положительна ($y>0$) или отрицательна ($y<0$), нужно решить соответствующие неравенства. Графически это означает найти интервалы оси $x$, на которых график функции лежит выше или ниже оси абсцисс.

• Найдем, когда $y > 0$:
  $\frac{6}{x} - 3 > 0$
  $\frac{6}{x} > 3$
  $\frac{6-3x}{x} > 0$
  Решим методом интервалов. Корни числителя: $6-3x=0 \implies x=2$. Корень знаменателя: $x=0$. Нанесем точки 0 и 2 на числовую ось и определим знаки выражения на получившихся интервалах. Для $x \in (0, 2)$, например при $x=1$, выражение $\frac{6-3(1)}{1} = 3 > 0$. Следовательно, неравенство выполняется при $x \in (0, 2)$.
• Найдем, когда $y < 0$:
  $\frac{6}{x} - 3 < 0$
  $\frac{6-3x}{x} < 0$
  Исходя из анализа для $y>0$, выражение будет отрицательным на интервалах $(-\infty, 0)$ и $(2, \infty)$.

Ответ: $y > 0$ при $x \in (0; 2)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (2; \infty)$.

г) уравнения асимптот графика функции.

График функции $y = \frac{6}{x} - 3$ является гиперболой, полученной из графика $y = \frac{6}{x}$ сдвигом на 3 единицы вниз.

• Вертикальная асимптота — это вертикальная прямая, к которой неограниченно приближается график функции. Она определяется из условия, что знаменатель дроби равен нулю. В данном случае это $x=0$.
• Горизонтальная асимптота — это горизонтальная прямая, к которой неограниченно приближается график функции, когда $x$ стремится к $+\infty$ или $-\infty$. Когда $|x| \to \infty$, значение дроби $\frac{6}{x}$ стремится к 0. Тогда $y$ стремится к $0-3 = -3$. Таким образом, уравнение горизонтальной асимптоты $y=-3$.

Ответ: вертикальная асимптота: $x=0$; горизонтальная асимптота: $y=-3$.