Номер 22.23, страница 134, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 22. Как построить график функции у = f(х) + m, если известен график функции у = f(х). Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 22.23, страница 134.

Условие.

22.23 Используя график функции $y = 0,5x^2 - 2$, найдите:

а) значение функции при $x = -1; 0; 2;$

б) значения аргумента, если $y = 0; y = -2; y = 6;$

в) наименьшее значение функции;

г) значения аргумента, при которых $y < 0; y > 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Для решения задачи, связанной с функцией $y = 0.5x^2 - 2$, можно как выполнить аналитические расчеты, так и воспользоваться ее графиком. График данной функции — это парабола с ветвями, направленными вверх, и вершиной в точке $(0, -2)$.

а) значение функции при x = -1; 0; 2;

Чтобы найти значение функции (y) при заданных значениях аргумента (x), подставим эти значения в уравнение функции.

При $x = -1$:
$y = 0.5 \cdot (-1)^2 - 2 = 0.5 \cdot 1 - 2 = 0.5 - 2 = -1.5$

При $x = 0$:
$y = 0.5 \cdot 0^2 - 2 = 0 - 2 = -2$

При $x = 2$:
$y = 0.5 \cdot 2^2 - 2 = 0.5 \cdot 4 - 2 = 2 - 2 = 0$

На графике: для каждого заданного значения $x$ на оси абсцисс нужно найти соответствующую точку на параболе и определить ее ординату (координату по оси y).

Ответ: при $x = -1$, $y = -1.5$; при $x = 0$, $y = -2$; при $x = 2$, $y = 0$.

б) значения аргумента, если y = 0; y = -2; y = 6;

Чтобы найти значения аргумента (x) при заданных значениях функции (y), подставим эти значения в уравнение и решим его относительно x.

Если $y = 0$:
$0 = 0.5x^2 - 2$
$0.5x^2 = 2$
$x^2 = 4$
$x_1 = 2$, $x_2 = -2$

Если $y = -2$:
$-2 = 0.5x^2 - 2$
$0.5x^2 = 0$
$x^2 = 0$
$x = 0$

Если $y = 6$:
$6 = 0.5x^2 - 2$
$0.5x^2 = 8$
$x^2 = 16$
$x_1 = 4$, $x_2 = -4$

На графике: для каждого заданного значения $y$ на оси ординат проводим горизонтальную прямую. Абсциссы точек пересечения этой прямой с параболой и будут искомыми значениями $x$.

Ответ: если $y = 0$, то $x = -2$ или $x = 2$; если $y = -2$, то $x = 0$; если $y = 6$, то $x = -4$ или $x = 4$.

в) наименьшее значение функции;

Функция $y = 0.5x^2 - 2$ является квадратичной. Коэффициент при $x^2$ равен $0.5$, он положителен, следовательно, ветви параболы направлены вверх. Это означает, что функция имеет наименьшее значение, которое достигается в вершине параболы.

Координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$ находятся по формулам: $x_v = -b/(2a)$, $y_v = y(x_v)$.
Для нашей функции $a = 0.5$, $b = 0$, $c = -2$.
$x_v = -0 / (2 \cdot 0.5) = 0$.
$y_v = 0.5 \cdot 0^2 - 2 = -2$.
Таким образом, наименьшее значение функции равно -2.

На графике: наименьшее значение функции — это ордината самой низкой точки графика, то есть вершины параболы. Вершина находится в точке $(0, -2)$, значит, наименьшее значение $y$ равно -2.

Ответ: наименьшее значение функции равно -2.

г) значения аргумента, при которых y < 0; y > 0.

Чтобы найти, при каких значениях $x$ функция положительна или отрицательна, нужно решить соответствующие неравенства. Точки, в которых функция меняет знак, — это ее нули, то есть значения $x$, при которых $y=0$. Мы их нашли в пункте б): $x = -2$ и $x = 2$.

Найдем значения $x$, при которых $y > 0$ (функция положительна):
$0.5x^2 - 2 > 0$
$0.5x^2 > 2$
$x^2 > 4$
Это неравенство выполняется, когда $x < -2$ или $x > 2$. В виде интервалов: $x \in (-\infty; -2) \cup (2; +\infty)$.

Найдем значения $x$, при которых $y < 0$ (функция отрицательна):
$0.5x^2 - 2 < 0$
$0.5x^2 < 2$
$x^2 < 4$
Это неравенство выполняется, когда $-2 < x < 2$. В виде интервала: $x \in (-2; 2)$.

На графике:
Значения $y > 0$ соответствуют тем участкам параболы, которые расположены выше оси абсцисс (оси Ox). Это происходит при $x < -2$ и при $x > 2$.
Значения $y < 0$ соответствуют участку параболы, который расположен ниже оси абсцисс. Это происходит для всех $x$ в интервале от -2 до 2.

Ответ: $y > 0$ при $x \in (-\infty; -2) \cup (2; +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (-2; 2)$.