Номер 22.24, страница 134, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 22. Как построить график функции у = f(х) + m, если известен график функции у = f(х). Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 22.24, страница 134.

Условие.

22.24 Иcпользуя график функции $y = -x^2 + 9$, найдите:

а) значение функции при $x = -3$; 0; 1;

б) значения аргумента, если $y = 9$; $y = 5$; $y = 0$;

в) наибольшее значение функции;

г) значения аргумента, при которых $y > 0, y < 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Для решения задачи воспользуемся свойствами функции $y = -x^2 + 9$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вниз. Вершина параболы находится в точке $(0, 9)$, а точки пересечения с осью Ox (нули функции) — в точках $x = -3$ и $x = 3$.

а) значение функции при x = -3; 0; 1;

Чтобы найти значение функции $y$ при заданном значении аргумента $x$, подставим это значение в уравнение функции.

• При $x = -3$:
  $y = -(-3)^2 + 9 = -9 + 9 = 0$.
• При $x = 0$:
  $y = -(0)^2 + 9 = 0 + 9 = 9$.
• При $x = 1$:
  $y = -(1)^2 + 9 = -1 + 9 = 8$.

Ответ: при $x = -3$ значение функции $y = 0$; при $x = 0$ значение функции $y = 9$; при $x = 1$ значение функции $y = 8$.

б) значения аргумента, если y = 9; y = 5; y = 0;

Чтобы найти значения аргумента $x$ при заданном значении функции $y$, подставим это значение в уравнение и решим его относительно $x$.

• Если $y = 9$:
  $9 = -x^2 + 9$
  $x^2 = 0$
  $x = 0$.
• Если $y = 5$:
  $5 = -x^2 + 9$
  $x^2 = 9 - 5$
  $x^2 = 4$
  $x_1 = 2$, $x_2 = -2$.
• Если $y = 0$:
  $0 = -x^2 + 9$
  $x^2 = 9$
  $x_1 = 3$, $x_2 = -3$.

Ответ: если $y = 9$, то $x = 0$; если $y = 5$, то $x = -2$ и $x = 2$; если $y = 0$, то $x = -3$ и $x = 3$.

в) наибольшее значение функции;

Графиком функции $y = -x^2 + 9$ является парабола с ветвями, направленными вниз. Ее наибольшее значение достигается в вершине. Координата $x$ вершины параболы $y = ax^2+bx+c$ находится по формуле $x_v = -b/(2a)$. В нашем случае $a=-1$, $b=0$, поэтому $x_v = 0$.

Найдем значение функции в этой точке:
$y_v = -(0)^2 + 9 = 9$.

Ответ: наибольшее значение функции равно 9.

г) значения аргумента, при которых y > 0, y < 0.

1. Найдем значения $x$, при которых $y > 0$. Для этого решим неравенство:

$-x^2 + 9 > 0$

$9 > x^2$

$x^2 < 9$

Решением этого неравенства является интервал $-3 < x < 3$. На графике это соответствует части параболы, которая находится выше оси Ox.

2. Найдем значения $x$, при которых $y < 0$. Для этого решим неравенство:

$-x^2 + 9 < 0$

$9 < x^2$

$x^2 > 9$

Решением этого неравенства является объединение интервалов $x < -3$ и $x > 3$. На графике это соответствует частям параболы, которые находятся ниже оси Ox.

Ответ: $y > 0$ при $x \in (-3; 3)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty; -3) \cup (3; \infty)$.