Номер 22.26, страница 134, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 22. Как построить график функции у = f(х) + m, если известен график функции у = f(х). Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 22.26, страница 134.

Условие.

22.26 Используя график функции $y = \sqrt{x} - 1$, найдите:

а) значение функции при $x = 0; 1; 4;$

б) значение аргумента, если $y = -1; y = 0; y = 1;$

в) множество значений функции;

г) значения аргумента, при которых $y < 0, y > 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Для решения задачи проанализируем функцию $y = \sqrt{x} - 1$. График этой функции получается из графика $y = \sqrt{x}$ путем сдвига на 1 единицу вниз вдоль оси ординат. Область определения функции: $x \ge 0$.

а) значение функции при x = 0; 1; 4;

Чтобы найти значение функции (y) по известному значению аргумента (x), нужно подставить значение $x$ в уравнение функции.

• При $x = 0$: $y = \sqrt{0} - 1 = 0 - 1 = -1$.
• При $x = 1$: $y = \sqrt{1} - 1 = 1 - 1 = 0$.
• При $x = 4$: $y = \sqrt{4} - 1 = 2 - 1 = 1$.

Ответ: при $x=0$, $y=-1$; при $x=1$, $y=0$; при $x=4$, $y=1$.

б) значение аргумента, если y = -1; y = 0; y = 1;

Чтобы найти значение аргумента (x) по известному значению функции (y), нужно подставить значение $y$ в уравнение и решить его относительно $x$.

• Если $y = -1$:
  $-1 = \sqrt{x} - 1$
  $\sqrt{x} = 0$
  $x = 0$.
• Если $y = 0$:
  $0 = \sqrt{x} - 1$
  $\sqrt{x} = 1$
  $x = 1^2 = 1$.
• Если $y = 1$:
  $1 = \sqrt{x} - 1$
  $\sqrt{x} = 2$
  $x = 2^2 = 4$.

Ответ: $y=-1$ при $x=0$; $y=0$ при $x=1$; $y=1$ при $x=4$.

в) множество значений функции;

Множество значений функции — это все возможные значения, которые может принимать $y$. Известно, что арифметический квадратный корень $\sqrt{x}$ принимает только неотрицательные значения, то есть $\sqrt{x} \ge 0$.
Тогда для функции $y = \sqrt{x} - 1$ имеем:
$y \ge 0 - 1$
$y \ge -1$
Следовательно, множество значений функции — это все числа, большие или равные $-1$. На графике это соответствует тому, что самая нижняя точка графика имеет ординату $-1$, а все остальные точки расположены выше.

Ответ: $E(y) = [-1; +\infty)$.

г) значения аргумента, при которых y < 0, y > 0.

Чтобы найти, при каких значениях аргумента $x$ функция принимает положительные или отрицательные значения, решим соответствующие неравенства.

1. Найдем значения $x$, при которых $y < 0$ (график функции находится ниже оси абсцисс):
$\sqrt{x} - 1 < 0$
$\sqrt{x} < 1$
Возведя обе части в квадрат, получаем $x < 1$. Учитывая область определения ($x \ge 0$), получаем $0 \le x < 1$.

2. Найдем значения $x$, при которых $y > 0$ (график функции находится выше оси абсцисс):
$\sqrt{x} - 1 > 0$
$\sqrt{x} > 1$
Возведя обе части в квадрат, получаем $x > 1$.

Ответ: $y < 0$ при $x \in [0; 1)$; $y > 0$ при $x \in (1; +\infty)$.