Номер 22.20, страница 133, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 22. Как построить график функции у = f(х) + m, если известен график функции у = f(х). Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 22.20, страница 133.

Условие.

22.20 Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $y = -\sqrt{x} + 1$:

а) на отрезке $[0; 1]$;

б) на полуинтервале $(1; 9]$;

в) на отрезке $[1; 9]$;

г) на полуинтервале $[4; 9)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции $y = -\sqrt{x} + 1$ на заданных промежутках, в первую очередь проанализируем саму функцию. Область определения функции задается условием $x \ge 0$.

Рассмотрим поведение функции. Функция $f(x) = \sqrt{x}$ является возрастающей для всех $x \ge 0$. Следовательно, функция $g(x) = -\sqrt{x}$ является убывающей на всей своей области определения. Добавление константы `+1` смещает график функции вверх на единицу, но не изменяет ее характер монотонности. Таким образом, функция $y = -\sqrt{x} + 1$ является строго убывающей на всей своей области определения $[0, \infty)$.

Это свойство убывания является ключевым для решения задачи. Для убывающей функции на любом промежутке большему значению аргумента ($x$) соответствует меньшее значение функции ($y$).

а) на отрезке [0; 1]

Отрезок $[0; 1]$ является замкнутым, поэтому функция достигает на нем как своего наименьшего, так и наибольшего значения. Так как функция убывающая, наибольшее значение будет в левой границе отрезка ($x=0$), а наименьшее — в правой ($x=1$).

Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(0) = -\sqrt{0} + 1 = 0 + 1 = 1$.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(1) = -\sqrt{1} + 1 = -1 + 1 = 0$.

Ответ: наименьшее значение 0, наибольшее значение 1.

б) на полуинтервале (1; 9]

На данном полуинтервале правая граница $x=9$ включена, а левая $x=1$ — нет. Ввиду убывания функции, наименьшее значение будет достигаться в самой правой из возможных точек, то есть в точке $x=9$.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(9) = -\sqrt{9} + 1 = -3 + 1 = -2$.

Наибольшее значение должно было бы достигаться в самой левой точке, но $x=1$ не входит в интервал. Значения $x$ могут быть сколь угодно близки к 1 (например, 1.0001, 1.000001 и т.д.), и соответствующие значения $y$ будут сколь угодно близки к $y(1)=0$. Однако, поскольку $x>1$, то $\sqrt{x}>1$, и $y = 1-\sqrt{x} < 0$. Таким образом, значение 0 никогда не достигается. Следовательно, наибольшего значения у функции на этом полуинтервале нет.

Ответ: наименьшее значение -2, наибольшего значения не существует.

в) на отрезке [1; 9]

Это замкнутый отрезок, поэтому, как и в пункте а), функция достигает своих экстремальных значений на границах. Наибольшее значение будет в точке $x=1$, а наименьшее — в точке $x=9$.

Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(1) = -\sqrt{1} + 1 = -1 + 1 = 0$.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(9) = -\sqrt{9} + 1 = -3 + 1 = -2$.

Ответ: наименьшее значение -2, наибольшее значение 0.

г) на полуинтервале [4; 9)

На данном полуинтервале левая граница $x=4$ включена, а правая $x=9$ — нет. Так как функция убывает, наибольшее значение достигается в самой левой точке, то есть в $x=4$.

Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(4) = -\sqrt{4} + 1 = -2 + 1 = -1$.

Наименьшее значение должно было бы достигаться в самой правой точке, но $x=9$ не входит в интервал. Значения $x$ приближаются к 9 слева, и соответствующие значения $y$ приближаются к $y(9)=-2$. Но так как $x<9$, то $\sqrt{x}<3$, и $y = 1-\sqrt{x} > -2$. Значение -2 никогда не достигается. Следовательно, наименьшего значения у функции на этом полуинтервале нет.

Ответ: наибольшее значение -1, наименьшего значения не существует.