Страница 133, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

22.19 Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $y = \sqrt{x} - 2$:

a) на отрезке $[1; 4];

б) на луче $[4; +\infty);

в) на отрезке $[4; 9];

г) на луче $[1; +\infty).

Данная функция $y = \sqrt{x} - 2$ является монотонно возрастающей на всей своей области определения ($x \ge 0$), так как функция $y=\sqrt{x}$ возрастает, а вычитание константы не влияет на характер монотонности.
Следовательно, на любом отрезке наименьшее значение функция будет принимать в его левой точке, а наибольшее — в правой. На луче наименьшее значение будет в его начальной точке, а наибольшего значения не будет существовать, так как функция неограниченно возрастает.

а) На отрезке $[1; 4]$:
Наименьшее значение достигается при $x=1$: $y_{наим} = \sqrt{1} - 2 = 1 - 2 = -1$.
Наибольшее значение достигается при $x=4$: $y_{наиб} = \sqrt{4} - 2 = 2 - 2 = 0$.
Ответ: наименьшее значение -1, наибольшее значение 0.

б) На луче $[4; +\infty)$:
Наименьшее значение достигается в начальной точке луча при $x=4$: $y_{наим} = \sqrt{4} - 2 = 2 - 2 = 0$.
Так как функция неограниченно возрастает при $x \to +\infty$, наибольшего значения на данном луче не существует.
Ответ: наименьшее значение 0, наибольшего значения не существует.

в) На отрезке $[4; 9]$:
Наименьшее значение достигается при $x=4$: $y_{наим} = \sqrt{4} - 2 = 2 - 2 = 0$.
Наибольшее значение достигается при $x=9$: $y_{наиб} = \sqrt{9} - 2 = 3 - 2 = 1$.
Ответ: наименьшее значение 0, наибольшее значение 1.

г) На луче $[1; +\infty)$:
Наименьшее значение достигается в начальной точке луча при $x=1$: $y_{наим} = \sqrt{1} - 2 = 1 - 2 = -1$.
Так как функция неограниченно возрастает при $x \to +\infty$, наибольшего значения на данном луче не существует.
Ответ: наименьшее значение -1, наибольшего значения не существует.

22.20 Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $y = -\sqrt{x} + 1$:

а) на отрезке $[0; 1]$;

б) на полуинтервале $(1; 9]$;

в) на отрезке $[1; 9]$;

г) на полуинтервале $[4; 9)$.

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции $y = -\sqrt{x} + 1$ на заданных промежутках, в первую очередь проанализируем саму функцию. Область определения функции задается условием $x \ge 0$.

Рассмотрим поведение функции. Функция $f(x) = \sqrt{x}$ является возрастающей для всех $x \ge 0$. Следовательно, функция $g(x) = -\sqrt{x}$ является убывающей на всей своей области определения. Добавление константы `+1` смещает график функции вверх на единицу, но не изменяет ее характер монотонности. Таким образом, функция $y = -\sqrt{x} + 1$ является строго убывающей на всей своей области определения $[0, \infty)$.

Это свойство убывания является ключевым для решения задачи. Для убывающей функции на любом промежутке большему значению аргумента ($x$) соответствует меньшее значение функции ($y$).

а) на отрезке [0; 1]

Отрезок $[0; 1]$ является замкнутым, поэтому функция достигает на нем как своего наименьшего, так и наибольшего значения. Так как функция убывающая, наибольшее значение будет в левой границе отрезка ($x=0$), а наименьшее — в правой ($x=1$).

Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(0) = -\sqrt{0} + 1 = 0 + 1 = 1$.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(1) = -\sqrt{1} + 1 = -1 + 1 = 0$.

Ответ: наименьшее значение 0, наибольшее значение 1.

б) на полуинтервале (1; 9]

На данном полуинтервале правая граница $x=9$ включена, а левая $x=1$ — нет. Ввиду убывания функции, наименьшее значение будет достигаться в самой правой из возможных точек, то есть в точке $x=9$.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(9) = -\sqrt{9} + 1 = -3 + 1 = -2$.

Наибольшее значение должно было бы достигаться в самой левой точке, но $x=1$ не входит в интервал. Значения $x$ могут быть сколь угодно близки к 1 (например, 1.0001, 1.000001 и т.д.), и соответствующие значения $y$ будут сколь угодно близки к $y(1)=0$. Однако, поскольку $x>1$, то $\sqrt{x}>1$, и $y = 1-\sqrt{x} < 0$. Таким образом, значение 0 никогда не достигается. Следовательно, наибольшего значения у функции на этом полуинтервале нет.

Ответ: наименьшее значение -2, наибольшего значения не существует.

в) на отрезке [1; 9]

Это замкнутый отрезок, поэтому, как и в пункте а), функция достигает своих экстремальных значений на границах. Наибольшее значение будет в точке $x=1$, а наименьшее — в точке $x=9$.

Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(1) = -\sqrt{1} + 1 = -1 + 1 = 0$.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(9) = -\sqrt{9} + 1 = -3 + 1 = -2$.

Ответ: наименьшее значение -2, наибольшее значение 0.

г) на полуинтервале [4; 9)

На данном полуинтервале левая граница $x=4$ включена, а правая $x=9$ — нет. Так как функция убывает, наибольшее значение достигается в самой левой точке, то есть в $x=4$.

Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(4) = -\sqrt{4} + 1 = -2 + 1 = -1$.

Наименьшее значение должно было бы достигаться в самой правой точке, но $x=9$ не входит в интервал. Значения $x$ приближаются к 9 слева, и соответствующие значения $y$ приближаются к $y(9)=-2$. Но так как $x<9$, то $\sqrt{x}<3$, и $y = 1-\sqrt{x} > -2$. Значение -2 никогда не достигается. Следовательно, наименьшего значения у функции на этом полуинтервале нет.

Ответ: наибольшее значение -1, наименьшего значения не существует.

22.21 Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $y = |x| - 4$:

а) на отрезке $[2; 6]$;

б) на луче $[-1; +\infty)$;

в) на луче $(-\infty; 0]$;

г) на отрезке $[-4; 5]$.

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции $y = |x| - 4$ на заданных промежутках, проанализируем её свойства. График функции $y = |x| - 4$ получается из графика функции $y = |x|$ сдвигом на 4 единицы вниз по оси ординат.

Функцию можно записать в виде системы: $y = \begin{cases} x - 4, & \text{если } x \ge 0 \\ -x - 4, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Из свойств функции $y = |x| - 4$ известно, что она убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ и возрастает на промежутке $[0; +\infty)$. Точка $x=0$ является точкой минимума. Глобальное наименьшее значение функции достигается в этой точке: $y(0) = |0| - 4 = -4$. Глобального наибольшего значения функция не имеет, так как она не ограничена сверху.

а) на отрезке [2; 6]

На отрезке $[2; 6]$ переменная $x$ принимает только положительные значения. Следовательно, на этом интервале функция имеет вид $y = x - 4$. Это линейная функция с положительным угловым коэффициентом ($k=1$), поэтому она возрастает на всей своей области определения, включая данный отрезок.

Наименьшее значение на отрезке возрастающая функция принимает в его левой границе, а наибольшее — в правой.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(2) = 2 - 4 = -2$.

Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(6) = 6 - 4 = 2$.

Ответ: наименьшее значение -2, наибольшее значение 2.

б) на луче [-1; +∞)

Данный луч включает в себя точку минимума функции $x=0$. Следовательно, наименьшее значение функции на этом промежутке будет равно её глобальному минимуму.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(0) = -4$.

При $x \to +\infty$, значения функции $y = x - 4$ также стремятся к $+\infty$. Это означает, что функция не ограничена сверху на данном луче, и наибольшего значения не существует.

Ответ: наименьшее значение -4, наибольшего значения не существует.

в) на луче (-∞; 0]

На луче $(-\infty; 0]$ переменная $x$ принимает только неположительные значения. Следовательно, на этом интервале функция имеет вид $y = -x - 4$. Это линейная функция с отрицательным угловым коэффициентом ($k=-1$), поэтому она является убывающей.

Так как функция убывает, ее наименьшее значение на данном луче достигается в его правой границе, то есть при $x=0$.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(0) = -0 - 4 = -4$.

При $x \to -\infty$, значения функции $y = -x - 4$ стремятся к $+\infty$. Следовательно, функция не ограничена сверху на данном луче, и наибольшего значения не существует.

Ответ: наименьшее значение -4, наибольшего значения не существует.

г) на отрезке [-4; 5]

Данный отрезок включает в себя точку минимума функции $x=0$. Значит, наименьшее значение функции на этом отрезке равно её глобальному минимуму.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(0) = -4$.

Наибольшее значение для функции такого вида на отрезке, содержащем точку минимума, будет достигаться на одном из его концов. Найдем значения функции в точках $x=-4$ и $x=5$.

$y(-4) = |-4| - 4 = 4 - 4 = 0$.

$y(5) = |5| - 4 = 5 - 4 = 1$.

Сравнивая полученные значения, выбираем большее из них: $\max(0, 1) = 1$.

Наибольшее значение: $y_{наиб} = 1$.

Ответ: наименьшее значение -4, наибольшее значение 1.

22.22 Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $y = -|x| + 2$:

а) на отрезке $ [-2; -1] $;

б) на полуинтервале $ [-3; 1) $;

в) на отрезке $ [-1; 2] $;

г) на луче $ (-\infty; 1] $.

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции $y = -|x| + 2$ на заданных промежутках, проанализируем её поведение.
Функция может быть записана в виде:

$y = x + 2$, при $x < 0$

$y = -x + 2$, при $x \ge 0$

Из этого следует, что на промежутке $(-\infty, 0)$ функция возрастает, а на промежутке $(0, +\infty)$ — убывает. В точке $x=0$ функция достигает своего максимума, равного $y(0) = -|0| + 2 = 2$.

а) на отрезке [-2; -1]

Данный отрезок $[-2; -1]$ полностью лежит в области, где $x < 0$. На этом промежутке функция имеет вид $y = x + 2$ и является возрастающей.
Следовательно, наименьшее значение достигается на левом конце отрезка, а наибольшее — на правом.
Наименьшее значение: $y_{наим} = y(-2) = -|-2| + 2 = -2 + 2 = 0$.
Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(-1) = -|-1| + 2 = -1 + 2 = 1$.

Ответ: наименьшее значение 0, наибольшее значение 1.

б) на полуинтервале [-3; 1)

Данный полуинтервал $[-3; 1)$ включает точку максимума $x=0$.
Наибольшее значение функции на этом промежутке равно значению в точке максимума: $y_{наиб} = y(0) = -|0| + 2 = 2$.
Для нахождения наименьшего значения сравним значения на концах промежутка. Левый конец $x=-3$ включен, правый $x=1$ — не включен.
Значение на левом конце: $y(-3) = -|-3| + 2 = -3 + 2 = -1$.
Поскольку на промежутке $[0; 1)$ функция убывает, она стремится к значению $y(1) = -|1| + 2 = 1$.
Сравнивая значение $y(-3)=-1$ с значениями на остальной части промежутка, видим, что $-1$ является наименьшим значением.

Ответ: наименьшее значение -1, наибольшее значение 2.

в) на отрезке [-1; 2]

Данный отрезок $[-1; 2]$ также включает точку максимума $x=0$.
Следовательно, наибольшее значение функции на этом отрезке равно $y_{наиб} = y(0) = 2$.
Для нахождения наименьшего значения нужно сравнить значения функции на концах отрезка:
$y(-1) = -|-1| + 2 = -1 + 2 = 1$.
$y(2) = -|2| + 2 = -2 + 2 = 0$.
Сравнивая эти два значения, получаем, что наименьшее из них равно 0.
$y_{наим} = 0$.

Ответ: наименьшее значение 0, наибольшее значение 2.

г) на луче (-∞; 1]

Данный луч $(-\infty; 1]$ содержит точку максимума $x=0$.
Наибольшее значение функции на этом луче равно $y_{наиб} = y(0) = 2$.
Рассмотрим поведение функции на левой части луча, когда $x$ стремится к $-\infty$. На этом участке ($x<0$) функция имеет вид $y = x + 2$.
$\lim_{x\to-\infty} (x+2) = -\infty$.
Это означает, что функция не ограничена снизу, и её значения могут быть сколь угодно малыми. Таким образом, наименьшего значения на данном луче не существует.

Ответ: наибольшее значение 2, наименьшего значения не существует.