Номер 22.21, страница 133, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 22. Как построить график функции у = f(х) + m, если известен график функции у = f(х). Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 22.21, страница 133.

Условие.

22.21 Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $y = |x| - 4$:

а) на отрезке $[2; 6]$;

б) на луче $[-1; +\infty)$;

в) на луче $(-\infty; 0]$;

г) на отрезке $[-4; 5]$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции $y = |x| - 4$ на заданных промежутках, проанализируем её свойства. График функции $y = |x| - 4$ получается из графика функции $y = |x|$ сдвигом на 4 единицы вниз по оси ординат.

Функцию можно записать в виде системы: $y = \begin{cases} x - 4, & \text{если } x \ge 0 \\ -x - 4, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Из свойств функции $y = |x| - 4$ известно, что она убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ и возрастает на промежутке $[0; +\infty)$. Точка $x=0$ является точкой минимума. Глобальное наименьшее значение функции достигается в этой точке: $y(0) = |0| - 4 = -4$. Глобального наибольшего значения функция не имеет, так как она не ограничена сверху.

а) на отрезке [2; 6]

На отрезке $[2; 6]$ переменная $x$ принимает только положительные значения. Следовательно, на этом интервале функция имеет вид $y = x - 4$. Это линейная функция с положительным угловым коэффициентом ($k=1$), поэтому она возрастает на всей своей области определения, включая данный отрезок.

Наименьшее значение на отрезке возрастающая функция принимает в его левой границе, а наибольшее — в правой.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(2) = 2 - 4 = -2$.

Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(6) = 6 - 4 = 2$.

Ответ: наименьшее значение -2, наибольшее значение 2.

б) на луче [-1; +∞)

Данный луч включает в себя точку минимума функции $x=0$. Следовательно, наименьшее значение функции на этом промежутке будет равно её глобальному минимуму.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(0) = -4$.

При $x \to +\infty$, значения функции $y = x - 4$ также стремятся к $+\infty$. Это означает, что функция не ограничена сверху на данном луче, и наибольшего значения не существует.

Ответ: наименьшее значение -4, наибольшего значения не существует.

в) на луче (-∞; 0]

На луче $(-\infty; 0]$ переменная $x$ принимает только неположительные значения. Следовательно, на этом интервале функция имеет вид $y = -x - 4$. Это линейная функция с отрицательным угловым коэффициентом ($k=-1$), поэтому она является убывающей.

Так как функция убывает, ее наименьшее значение на данном луче достигается в его правой границе, то есть при $x=0$.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(0) = -0 - 4 = -4$.

При $x \to -\infty$, значения функции $y = -x - 4$ стремятся к $+\infty$. Следовательно, функция не ограничена сверху на данном луче, и наибольшего значения не существует.

Ответ: наименьшее значение -4, наибольшего значения не существует.

г) на отрезке [-4; 5]

Данный отрезок включает в себя точку минимума функции $x=0$. Значит, наименьшее значение функции на этом отрезке равно её глобальному минимуму.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(0) = -4$.

Наибольшее значение для функции такого вида на отрезке, содержащем точку минимума, будет достигаться на одном из его концов. Найдем значения функции в точках $x=-4$ и $x=5$.

$y(-4) = |-4| - 4 = 4 - 4 = 0$.

$y(5) = |5| - 4 = 5 - 4 = 1$.

Сравнивая полученные значения, выбираем большее из них: $\max(0, 1) = 1$.

Наибольшее значение: $y_{наиб} = 1$.

Ответ: наименьшее значение -4, наибольшее значение 1.