Номер 22.16, страница 132, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 22. Как построить график функции у = f(х) + m, если известен график функции у = f(х). Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 22.16, страница 132.

Условие.

22.16 Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $y = \frac{2}{x} - 2$:

а) на отрезке [1; 2];

б) на луче $(-\infty; -1];$

в) на отрезке $[-2; -0,5];$

г) на полуинтервале $[2; 5).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) на отрезке [1; 2]

Дана функция $y = \frac{2}{x} - 2$. Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции на заданных промежутках сначала исследуем ее на монотонность. Для этого найдем производную функции:
$y'(x) = \left(\frac{2}{x} - 2\right)' = (2x^{-1} - 2)' = -2x^{-2} = -\frac{2}{x^2}$.

Поскольку $x^2$ всегда положителен для любого $x$ из области определения функции ($x \neq 0$), производная $y'(x) = -\frac{2}{x^2}$ всегда отрицательна. Это означает, что функция $y(x)$ является строго убывающей на каждом из промежутков своей области определения: $(-\infty; 0)$ и $(0; \infty)$.

Отрезок $[1; 2]$ принадлежит промежутку $(0; \infty)$, на котором функция убывает. Следовательно, на этом отрезке функция принимает свое наибольшее значение в левой граничной точке ($x=1$), а наименьшее — в правой ($x=2$).

Вычислим эти значения:
Наибольшее значение: $y_{наиб.} = y(1) = \frac{2}{1} - 2 = 2 - 2 = 0$.
Наименьшее значение: $y_{наим.} = y(2) = \frac{2}{2} - 2 = 1 - 2 = -1$.

Ответ: наименьшее значение функции равно -1, наибольшее значение равно 0.

б) на луче $(-\infty; -1]$

На луче $(-\infty; -1]$ функция также является монотонно убывающей. Это значит, что по мере увеличения $x$ значения $y$ уменьшаются.

Наименьшее значение функция примет в крайней правой точке промежутка, то есть при $x=-1$.
$y_{наим.} = y(-1) = \frac{2}{-1} - 2 = -2 - 2 = -4$.

Наибольшего значения на этом луче не существует. При $x$, стремящемся к $-\infty$, значение функции стремится к горизонтальной асимптоте $y = -2$:
$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{2}{x} - 2\right) = 0 - 2 = -2$.
Функция приближается к значению -2, но никогда его не достигает. Множество значений функции на данном луче представляет собой полуинтервал $[-4; -2)$.

Ответ: наименьшее значение функции равно -4, наибольшего значения не существует.

в) на отрезке [−2; −0,5]

Отрезок $[-2; -0,5]$ принадлежит промежутку $(-\infty; 0)$, на котором функция монотонно убывает. Следовательно, наибольшее значение будет в левой граничной точке отрезка ($x=-2$), а наименьшее — в правой ($x=-0,5$).

Вычислим значения функции на концах отрезка:
Наибольшее значение: $y_{наиб.} = y(-2) = \frac{2}{-2} - 2 = -1 - 2 = -3$.
Наименьшее значение: $y_{наим.} = y(-0,5) = \frac{2}{-0,5} - 2 = -4 - 2 = -6$.

Ответ: наименьшее значение функции равно -6, наибольшее значение равно -3.

г) на полуинтервале [2; 5)

На полуинтервале $[2; 5)$ функция монотонно убывает. Наибольшее значение она принимает в левой точке $x=2$, так как эта точка принадлежит промежутку.

Вычислим это значение:
$y_{наиб.} = y(2) = \frac{2}{2} - 2 = 1 - 2 = -1$.

Наименьшего значения не существует, так как правая граница $x=5$ не включена в промежуток. При $x$, стремящемся к 5 слева ($x \to 5^-$), значение функции $y(x)$ стремится к $y(5)$:
$y(5) = \frac{2}{5} - 2 = 0,4 - 2 = -1,6$.
Функция принимает значения, сколь угодно близкие к -1,6, но никогда не достигает этого значения. Множество значений функции на данном полуинтервале есть полуинтервал $(-1,6; -1]$.

Ответ: наибольшее значение функции равно -1, наименьшего значения не существует.