Номер 22.10, страница 130, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 22. Как построить график функции у = f(х) + m, если известен график функции у = f(х). Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 22.10, страница 130.

Условие.

22.10 a) $y = \frac{3}{x} + 4;$

б) $y = -\frac{5}{x} - 1;$

в) $y = \frac{4}{x} - 3;$

г) $y = -\frac{2}{x} + 3.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Поскольку в задании не указан конкретный вопрос, будет проведен полный анализ каждой из функций: найдены область определения, область значений и асимптоты графика. Все представленные функции имеют вид $y = \frac{k}{x} + q$, который представляет собой обратную пропорциональность $y = \frac{k}{x}$, смещенную по вертикали на $q$ единиц. Графиком такой функции является гипербола.

а) $y = \frac{3}{x} + 4$

Данная функция является обратной пропорциональностью со сдвигом. Она имеет вид $y = \frac{k}{x} + q$, где коэффициент $k=3$ и вертикальный сдвиг $q=4$. График этой функции — гипербола, полученная из графика $y=\frac{3}{x}$ сдвигом на 4 единицы вверх.

Область определения: Функция определена для всех значений $x$, при которых знаменатель не равен нулю. Следовательно, $x \neq 0$. Область определения $D(y): x \in (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.

Асимптоты: У графика функции есть вертикальная и горизонтальная асимптоты. Вертикальная асимптота соответствует значению $x$, при котором функция не определена, то есть прямая $x=0$. Горизонтальная асимптота определяется величиной сдвига $q$. При $x \to \pm\infty$, значение дроби $\frac{3}{x} \to 0$, и тогда $y \to 4$. Таким образом, горизонтальная асимптота — это прямая $y=4$.

Область значений: Функция может принимать любые значения, кроме значения горизонтальной асимптоты. Область значений $E(y): y \in (-\infty, 4) \cup (4, +\infty)$.

Ответ: Вертикальная асимптота: $x=0$; горизонтальная асимптота: $y=4$.

б) $y = -\frac{5}{x} - 1$

Данная функция является обратной пропорциональностью со сдвигом вида $y = \frac{k}{x} + q$, с параметрами $k=-5$ и $q=-1$. График функции — гипербола.

Асимптоты: Вертикальная асимптота возникает там, где знаменатель равен нулю, то есть $x=0$. Горизонтальная асимптота определяется сдвигом $q$, то есть $y=-1$.

Область определения и область значений: Исходя из асимптот, область определения функции $D(y): x \neq 0$, или $x \in (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$. Область значений $E(y): y \neq -1$, или $y \in (-\infty, -1) \cup (-1, +\infty)$.

Ответ: Вертикальная асимптота: $x=0$; горизонтальная асимптота: $y=-1$.

в) $y = \frac{4}{x} - 3$

Данная функция является обратной пропорциональностью со сдвигом вида $y = \frac{k}{x} + q$, с параметрами $k=4$ и $q=-3$. График функции — гипербола.

Асимптоты: Вертикальная асимптота — прямая $x=0$. Горизонтальная асимптота — прямая $y=-3$.

Область определения и область значений: Область определения $D(y): x \neq 0$, или $x \in (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$. Область значений $E(y): y \neq -3$, или $y \in (-\infty, -3) \cup (-3, +\infty)$.

Ответ: Вертикальная асимптота: $x=0$; горизонтальная асимптота: $y=-3$.

г) $y = -\frac{2}{x} + 3$

Данная функция является обратной пропорциональностью со сдвигом вида $y = \frac{k}{x} + q$, с параметрами $k=-2$ и $q=3$. График функции — гипербола.

Асимптоты: Вертикальная асимптота — прямая $x=0$. Горизонтальная асимптота — прямая $y=3$.

Область определения и область значений: Область определения $D(y): x \neq 0$, или $x \in (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$. Область значений $E(y): y \neq 3$, или $y \in (-\infty, 3) \cup (3, +\infty)$.

Ответ: Вертикальная асимптота: $x=0$; горизонтальная асимптота: $y=3$.