Номер 22.30, страница 135, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 22. Как построить график функции у = f(х) + m, если известен график функции у = f(х). Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 22.30, страница 135.

Условие.

22.30 Постройте график функции $y = -|x| + 3$. С помощью графика найдите:

а) значение $y$ при $x = -4; 0; 1;$

б) значения $x$, если $y = 3; 0; -2;$

в) значения $x$, при которых $y > 0, y < 0;$

г) наибольшее значение функции.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Для построения графика функции $y = -|x| + 3$ выполним следующие преобразования:
1. Строим график основной функции $y = |x|$. Это две прямые, $y = x$ при $x \ge 0$ и $y = -x$ при $x < 0$, образующие "галочку" с вершиной в точке $(0, 0)$.
2. Строим график функции $y = -|x|$. Знак "минус" перед модулем означает, что график $y = |x|$ нужно симметрично отразить относительно оси абсцисс (оси Ox). Получаем "перевернутую галочку" с вершиной в точке $(0, 0)$.
3. Строим график функции $y = -|x| + 3$. Прибавление 3 означает, что график $y = -|x|$ нужно сдвинуть на 3 единицы вверх вдоль оси ординат (оси Oy).
В результате получаем график, состоящий из двух лучей, исходящих из точки $(0, 3)$ (вершина).
Найдем точки пересечения с осями для более точного построения:
- Пересечение с осью Oy: $x=0$, $y = -|0| + 3 = 3$. Точка $(0, 3)$.
- Пересечение с осью Ox: $y=0$, $0 = -|x| + 3$, $|x| = 3$. Отсюда $x=3$ и $x=-3$. Точки $(3, 0)$ и $(-3, 0)$.
Таким образом, график представляет собой два луча:
- прямая $y = -x + 3$ для $x \ge 0$;
- прямая $y = x + 3$ для $x < 0$.
Используя этот график, ответим на вопросы.

а) значение y при x = –4; 0; 1;
Находим на графике точки с заданными абсциссами и определяем их ординаты:
- при $x = -4$, значение функции $y = -|-4| + 3 = -4 + 3 = -1$.
- при $x = 0$, значение функции $y = -|0| + 3 = 3$. Это вершина графика.
- при $x = 1$, значение функции $y = -|1| + 3 = -1 + 3 = 2$.
Ответ: при $x=-4$ $y=-1$; при $x=0$ $y=3$; при $x=1$ $y=2$.

б) значения x, если y = 3; 0; –2;
Проводим на графике горизонтальные прямые, соответствующие заданным значениям $y$, и находим абсциссы точек пересечения с графиком функции:
- при $y = 3$, прямая $y=3$ пересекает график в его вершине, где $x=0$.
- при $y = 0$, прямая $y=0$ (ось Ox) пересекает график в точках, где $x=-3$ и $x=3$.
- при $y = -2$, решим уравнение: $-2 = -|x| + 3 \Rightarrow |x| = 5$. Следовательно, $x=-5$ и $x=5$.
Ответ: $y=3$ при $x=0$; $y=0$ при $x = \pm 3$; $y=-2$ при $x = \pm 5$.

в) значения x, при которых y > 0, y < 0;
- Значения $y > 0$ соответствуют части графика, расположенной выше оси Ox. Это происходит на интервале между точками пересечения с осью Ox, то есть между $x=-3$ и $x=3$. Таким образом, $y > 0$ при $x \in (-3; 3)$.
- Значения $y < 0$ соответствуют частям графика, расположенным ниже оси Ox. Это происходит левее точки $x=-3$ и правее точки $x=3$. Таким образом, $y < 0$ при $x \in (-\infty; -3) \cup (3; +\infty)$.
Ответ: $y>0$ при $x \in (-3; 3)$; $y<0$ при $x \in (-\infty; -3) \cup (3; +\infty)$.

г) наибольшее значение функции.
График функции представляет собой "перевернутую галочку", вершина которой является самой высокой точкой. Координаты вершины - $(0, 3)$. Ордината этой точки и есть наибольшее значение функции.
Ответ: Наибольшее значение функции равно 3.