Номер 22.36, страница 136, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 22. Как построить график функции у = f(х) + m, если известен график функции у = f(х). Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 22.36, страница 136.

Условие.

22.36 Пусть $K$ — наибольшее значение функции $y = -\frac{2}{x} - 1$ на лу-че $(-\infty; -1]$, а $L$ — наименьшее значение функции $y = (x - 4)^2$ на отрезке $[3; 5]$. Сравните $L$ и $K$. Сделайте графическую иллюстрацию.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

1. Нахождение K — наибольшего значения функции $y = \frac{2}{x} - 1$ на луче $(-\infty; -1]$

Рассмотрим функцию $y = \frac{2}{x} - 1$ на промежутке $x \in (-\infty; -1]$. Чтобы определить характер монотонности функции, найдем ее производную: $y' = \left(\frac{2}{x} - 1\right)' = (2x^{-1} - 1)' = -2x^{-2} = -\frac{2}{x^2}$.

Поскольку $x^2 > 0$ для всех $x$ из области определения, производная $y' = -\frac{2}{x^2}$ всегда отрицательна ($y' < 0$). Это означает, что функция является строго убывающей на всем луче $(-\infty; -1]$.

Для убывающей функции на луче вида $(-\infty; b]$ ее значения уменьшаются по мере увеличения аргумента $x$. Найдем значение функции на правой границе луча и ее предел на левой границе (в бесконечности):

• Значение на правой границе: $y(-1) = \frac{2}{-1} - 1 = -2 - 1 = -3$.
• Предел функции при $x \to -\infty$: $\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{2}{x} - 1\right) = 0 - 1 = -1$.

Таким образом, множество значений функции на луче $(-\infty; -1]$ представляет собой полуинтервал $[-3; -1)$.

В множестве $[-3; -1)$ наименьшее значение равно $-3$, а наибольшего значения (максимума) не существует, так как число $-1$ является точной верхней гранью (супремумом), но это значение никогда не достигается функцией. В контексте данной задачи, под "наибольшим значением" $K$, по-видимому, следует понимать именно эту точную верхнюю грань.

Ответ: $K = -1$.

2. Нахождение L — наименьшего значения функции $y = (x - 4)^2$ на отрезке $[3; 5]$

Рассмотрим функцию $y = (x - 4)^2$ на отрезке $[3; 5]$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Наименьшее значение такой параболы достигается в ее вершине.

Координаты вершины параболы вида $y = a(x - x_0)^2 + y_0$ равны $(x_0; y_0)$. Для функции $y = (x - 4)^2$ вершина находится в точке с координатами $(4; 0)$.

Поскольку абсцисса вершины $x = 4$ принадлежит заданному отрезку $[3; 5]$, то наименьшее значение функции на этом отрезке совпадает со значением в вершине. Следовательно, наименьшее значение функции $L$ равно ординате вершины. $L = y(4) = (4 - 4)^2 = 0$.

Ответ: $L = 0$.

3. Сравнение L и K

Мы получили значения $K = -1$ и $L = 0$. Сравним эти два числа: $0 > -1$. Таким образом, $L > K$.

Ответ: $L > K$.

4. Графическая иллюстрация

Построим графики функций $y = \frac{2}{x} - 1$ на луче $(-\infty; -1]$ (синий цвет) и $y = (x - 4)^2$ на отрезке $[3; 5]$ (красный цвет). На графике отмечена точка $L(4, 0)$, в которой достигается наименьшее значение параболы. Зеленой пунктирной линией показана горизонтальная асимптота $y = -1$, которая является точной верхней гранью $K$ для значений гиперболы на заданном луче.