Номер 22.38, страница 136, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 22. Как построить график функции у = f(х) + m, если известен график функции у = f(х). Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 22.38, страница 136.

Условие.

22.38 а) $\begin{cases} y = \frac{2}{x} + 1, \\ y + 5x - 1 = 0; \end{cases}$

б) $\begin{cases} y = -\frac{3}{x} + 1, \\ y = -\sqrt{x} - 1; \end{cases}$

в) $\begin{cases} y = -x^2 - 2, \\ 5x - 3y = 0; \end{cases}$

г) $\begin{cases} y = 0,5x^2 - 3, \\ y = \sqrt{x} + 3. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) Дана система уравнений: $ \begin{cases} y = \frac{2}{x} + 1 \\ y + 5x - 1 = 0 \end{cases} $
Из второго уравнения выразим $y$: $y = 1 - 5x$
Подставим это выражение в первое уравнение: $1 - 5x = \frac{2}{x} + 1$
Вычтем 1 из обеих частей уравнения: $-5x = \frac{2}{x}$
Область допустимых значений для первого уравнения $x \neq 0$. Умножим обе части на $x$: $-5x^2 = 2$
$x^2 = -\frac{2}{5}$
Квадрат действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, данное уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что система уравнений не имеет решений.
Ответ: решений нет.

б) Дана система уравнений: $ \begin{cases} y = -\frac{3}{x} + 1 \\ y = -\sqrt{x} - 1 \end{cases} $
Определим область допустимых значений. Из первого уравнения $x \neq 0$. Из второго уравнения $x \ge 0$. Таким образом, $x > 0$.
Приравняем правые части уравнений, так как левые части равны $y$: $-\frac{3}{x} + 1 = -\sqrt{x} - 1$
Перенесем члены с $x$ в одну сторону, а константы в другую: $2 = \frac{3}{x} - \sqrt{x}$
Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sqrt{x}$. Поскольку $x > 0$, то $t > 0$. Тогда $x = t^2$. Подставим $t$ в уравнение: $2 = \frac{3}{t^2} - t$
Умножим все уравнение на $t^2$ (так как $t^2 > 0$): $2t^2 = 3 - t^3$
$t^3 + 2t^2 - 3 = 0$
Это кубическое уравнение. Попробуем найти целочисленные корни среди делителей свободного члена (-3): $\pm 1, \pm 3$. Проверим $t=1$: $1^3 + 2(1)^2 - 3 = 1 + 2 - 3 = 0$. Значит, $t=1$ является корнем уравнения.
Разделим многочлен $t^3 + 2t^2 - 3$ на $(t-1)$ и получим: $(t-1)(t^2 + 3t + 3) = 0$
Получаем два уравнения: $t-1=0$ или $t^2+3t+3=0$. Из первого уравнения $t=1$. Для второго уравнения $t^2+3t+3=0$ найдем дискриминант: $\Delta = 3^2 - 4(1)(3) = 9 - 12 = -3$. Так как дискриминант отрицательный, это уравнение не имеет действительных корней.
Единственный действительный корень - это $t=1$. Условие $t > 0$ выполняется.
Вернемся к переменной $x$: $\sqrt{x} = 1 \implies x = 1^2 = 1$.
Теперь найдем соответствующее значение $y$, подставив $x=1$ в любое из исходных уравнений, например, во второе: $y = -\sqrt{1} - 1 = -1 - 1 = -2$.
Ответ: $(1; -2)$.

в) Дана система уравнений: $ \begin{cases} y = -x^2 - 2 \\ 5x - 3y = 0 \end{cases} $
Из второго уравнения выразим $y$: $3y = 5x \implies y = \frac{5}{3}x$
Подставим это выражение в первое уравнение: $\frac{5}{3}x = -x^2 - 2$
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение: $x^2 + \frac{5}{3}x + 2 = 0$
Умножим все уравнение на 3, чтобы избавиться от дроби: $3x^2 + 5x + 6 = 0$
Найдем дискриминант этого квадратного уравнения $\Delta = b^2 - 4ac$: $\Delta = 5^2 - 4(3)(6) = 25 - 72 = -47$
Поскольку дискриминант отрицательный ($\Delta < 0$), уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, система уравнений не имеет решений.
Ответ: решений нет.

г) Дана система уравнений: $ \begin{cases} y = 0.5x^2 - 3 \\ y = \sqrt{x} + 3 \end{cases} $
Область допустимых значений для $x$ определяется вторым уравнением: $x \ge 0$.
Приравняем правые части уравнений: $0.5x^2 - 3 = \sqrt{x} + 3$
Перенесем все члены в одну сторону: $0.5x^2 - \sqrt{x} - 6 = 0$
Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sqrt{x}$. Поскольку $x \ge 0$, то $t \ge 0$. Тогда $x = t^2$. Подставим $t$ в уравнение: $0.5(t^2)^2 - t - 6 = 0$
$0.5t^4 - t - 6 = 0$
Умножим все уравнение на 2: $t^4 - 2t - 12 = 0$
Будем искать неотрицательные корни. Попробуем подставить целочисленные значения. Проверим $t=2$: $2^4 - 2(2) - 12 = 16 - 4 - 12 = 0$. Значит, $t=2$ является корнем уравнения. Это допустимый корень, так как $t \ge 0$.
Разделим многочлен $t^4 - 2t - 12$ на $(t-2)$ и получим: $(t-2)(t^3 + 2t^2 + 4t + 6) = 0$
Рассмотрим второе уравнение: $t^3 + 2t^2 + 4t + 6 = 0$. Мы ищем неотрицательные корни ($t \ge 0$). Если $t \ge 0$, то каждое слагаемое в левой части неотрицательно: $t^3 \ge 0$, $2t^2 \ge 0$, $4t \ge 0$. Следовательно, $t^3 + 2t^2 + 4t + 6 \ge 0 + 0 + 0 + 6 = 6$. Значит, левая часть всегда строго больше нуля при $t \ge 0$, и уравнение $t^3 + 2t^2 + 4t + 6 = 0$ не имеет неотрицательных корней.
Таким образом, единственным неотрицательным решением является $t=2$.
Вернемся к переменной $x$: $\sqrt{x} = 2 \implies x = 2^2 = 4$.
Теперь найдем соответствующее значение $y$, подставив $x=4$ в любое из исходных уравнений, например, во второе: $y = \sqrt{4} + 3 = 2 + 3 = 5$.
Ответ: $(4; 5)$.