Номер 23.1, страница 137, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 23. Как построить график функции у = f(х + l) + m, если известен график функции y = f(х). Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 23.1, страница 137.

Условие.

Постройте в одной системе координат графики функций:

23.1 a) $y = x^2$ и $y = (x + 2)^2 + 1;

б) $y = x^2$ и $y = (x - 3)^2 + 2;

в) $y = x^2$ и $y = (x + 5)^2 - 4;

г) $y = x^2$ и $y = (x - 6)^2 - 3.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Для построения графиков функций в каждом пункте используется метод параллельного переноса базовой параболы $y=x^2$.

Общий вид функции, график которой получается из параболы $y=x^2$ сдвигом, это $y = (x - x_0)^2 + y_0$. График такой функции является параболой, конгруэнтной параболе $y=x^2$, но с вершиной в точке $(x_0, y_0)$. Сдвиг происходит на $x_0$ единиц по горизонтали (вправо при $x_0 > 0$, влево при $x_0 < 0$) и на $y_0$ единиц по вертикали (вверх при $y_0 > 0$, вниз при $y_0 < 0$).

а) $y = x^2$ и $y = (x + 2)^2 + 1$

1. График функции $y = x^2$ — это стандартная парабола с вершиной в начале координат, точке $(0, 0)$, и ветвями, направленными вверх. Ось симметрии — ось Oy (прямая $x=0$).

2. График функции $y = (x + 2)^2 + 1$ можно получить из графика $y = x^2$. В данном случае $x_0 = -2$ и $y_0 = 1$. Это означает, что для построения графика нужно выполнить параллельный перенос графика $y = x^2$ на 2 единицы влево вдоль оси Ox и на 1 единицу вверх вдоль оси Oy.

Вершина новой параболы будет находиться в точке $(-2, 1)$. Ось симметрии — прямая $x = -2$. Форма параболы и направление ветвей (вверх) остаются прежними.

Ответ: Для построения графиков сначала строим параболу $y = x^2$ с вершиной в точке $(0, 0)$. Затем, для построения графика $y = (x+2)^2 + 1$, сдвигаем параболу $y = x^2$ на 2 единицы влево и на 1 единицу вверх. Вершина второй параболы будет в точке $(-2, 1)$.

б) $y = x^2$ и $y = (x - 3)^2 + 2$

1. График функции $y = x^2$ — стандартная парабола с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями вверх.

2. График функции $y = (x - 3)^2 + 2$ получаем из графика $y = x^2$ параллельным переносом. Здесь $x_0 = 3$ и $y_0 = 2$. Следовательно, необходимо сдвинуть график $y = x^2$ на 3 единицы вправо вдоль оси Ox и на 2 единицы вверх вдоль оси Oy.

Вершина новой параболы будет находиться в точке $(3, 2)$. Ось симметрии — прямая $x = 3$. Ветви направлены вверх.

Ответ: Сначала строим параболу $y = x^2$ с вершиной в $(0, 0)$. Затем для построения графика $y = (x - 3)^2 + 2$ сдвигаем параболу $y = x^2$ на 3 единицы вправо и на 2 единицы вверх. Вершина второй параболы будет в точке $(3, 2)$.

в) $y = x^2$ и $y = (x + 5)^2 - 4$

1. График функции $y = x^2$ — стандартная парабола с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями вверх.

2. График функции $y = (x + 5)^2 - 4$ получаем из графика $y = x^2$. В этом случае $x_0 = -5$ и $y_0 = -4$. Это означает, что нужно сдвинуть график $y = x^2$ на 5 единиц влево вдоль оси Ox и на 4 единицы вниз вдоль оси Oy.

Вершина новой параболы будет находиться в точке $(-5, -4)$. Ось симметрии — прямая $x = -5$. Ветви направлены вверх.

Ответ: Сначала строим параболу $y = x^2$ с вершиной в $(0, 0)$. Затем для построения графика $y = (x + 5)^2 - 4$ сдвигаем параболу $y = x^2$ на 5 единиц влево и на 4 единицы вниз. Вершина второй параболы будет в точке $(-5, -4)$.

г) $y = x^2$ и $y = (x - 6)^2 - 3$

1. График функции $y = x^2$ — стандартная парабола с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями вверх.

2. График функции $y = (x - 6)^2 - 3$ получаем из графика $y = x^2$. Здесь $x_0 = 6$ и $y_0 = -3$. Следовательно, необходимо сдвинуть график $y = x^2$ на 6 единиц вправо вдоль оси Ox и на 3 единицы вниз вдоль оси Oy.

Вершина новой параболы будет находиться в точке $(6, -3)$. Ось симметрии — прямая $x = 6$. Ветви направлены вверх.

Ответ: Сначала строим параболу $y = x^2$ с вершиной в $(0, 0)$. Затем для построения графика $y = (x - 6)^2 - 3$ сдвигаем параболу $y = x^2$ на 6 единиц вправо и на 3 единицы вниз. Вершина второй параболы будет в точке $(6, -3)$.