Номер 22.40, страница 136, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 22. Как построить график функции у = f(х) + m, если известен график функции у = f(х). Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 22.40, страница 136.

Условие.

22.40 Дана функция $y = f(x)$, где

$f(x) = \begin{cases} 2, & \text{если } -5 \le x \le -3; \\ |x| - 1, & \text{если } -3 < x < 1; \\ \sqrt{x - 1}, & \text{если } 1 \le x \le 5. \end{cases}$

a) Найдите $f(-5); f(1); f\left(\frac{\pi^2}{4} + 1\right)$.

б) Постройте график функции $y = f(x)$.

в) Перечислите свойства функции.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Чтобы найти значения функции, необходимо определить, в какой из трех интервалов попадает значение аргумента $x$, и использовать соответствующую формулу.

• Нахождение $f(-5)$: Аргумент $x = -5$ принадлежит промежутку $-5 \le x \le -3$. На этом промежутке функция задается формулой $f(x) = 2$. Следовательно, $f(-5) = 2$.

• Нахождение $f(1)$: Аргумент $x = 1$ принадлежит промежутку $1 \le x \le 5$. На этом промежутке функция задается формулой $f(x) = \sqrt{x - 1}$. Следовательно, $f(1) = \sqrt{1 - 1} = \sqrt{0} = 0$.

• Нахождение $f\left(\frac{\pi^2}{4} + 1\right)$: Сначала оценим значение аргумента. Используя приближение $\pi \approx 3.14$, получаем: $x = \frac{\pi^2}{4} + 1 \approx \frac{3.14^2}{4} + 1 \approx \frac{9.86}{4} + 1 \approx 2.465 + 1 = 3.465$. Это значение принадлежит промежутку $1 \le x \le 5$. На этом промежутке функция задается формулой $f(x) = \sqrt{x - 1}$. Следовательно, $f\left(\frac{\pi^2}{4} + 1\right) = \sqrt{\left(\frac{\pi^2}{4} + 1\right) - 1} = \sqrt{\frac{\pi^2}{4}} = \frac{\pi}{2}$.

Ответ: $f(-5) = 2$; $f(1) = 0$; $f\left(\frac{\pi^2}{4} + 1\right) = \frac{\pi}{2}$.

б)

Для построения графика функции $y = f(x)$ рассмотрим каждый участок отдельно.

1. На промежутке $[-5, -3]$ функция имеет вид $y=2$. Это отрезок горизонтальной прямой, соединяющий точки $(-5, 2)$ и $(-3, 2)$.

2. На промежутке $(-3, 1)$ функция имеет вид $y=|x|-1$. Этот график состоит из двух отрезков:

   • При $-3 < x < 0$ имеем $y = -x - 1$. Это отрезок прямой, соединяющий точки $(-3, 2)$ (точка не включена) и $(0, -1)$.
   • При $0 \le x < 1$ имеем $y = x - 1$. Это отрезок прямой, соединяющий точки $(0, -1)$ и $(1, 0)$ (точка не включена).

3. На промежутке $[1, 5]$ функция имеет вид $y=\sqrt{x-1}$. Это часть параболы, ветвь которой направлена вправо. График начинается в точке $(1, 0)$ и заканчивается в точке $(5, 2)$ (так как $\sqrt{5-1} = \sqrt{4} = 2$).

Функция непрерывна на всей области определения, так как значения на стыках интервалов совпадают:

• При $x=-3$: $f(-3) = 2$ и $\lim_{x \to -3^+} (|x|-1) = |-3|-1 = 2$.
• При $x=1$: $\lim_{x \to 1^-} (|x|-1) = |1|-1 = 0$ и $f(1) = \sqrt{1-1} = 0$.

График функции $y = f(x)$:

Ответ: График функции построен и представлен выше.

в)

Перечислим основные свойства функции $y = f(x)$:

• Область определения: $D(f) = [-5, 5]$.

• Множество значений: $E(f) = [-1, 2]$.

• Нули функции: $f(x) = 0$ при $x = -1$ и $x = 1$.

• Промежутки знакопостоянства:

  • $f(x) > 0$ при $x \in [-5, -1) \cup (1, 5]$.
  • $f(x) < 0$ при $x \in (-1, 1)$.

• Промежутки монотонности:

  • Функция постоянна на промежутке $[-5, -3]$.
  • Функция убывает на промежутке $[-3, 0]$.
  • Функция возрастает на промежутке $[0, 5]$.

• Экстремумы функции:

  • Точка минимума: $x_{min} = 0$.
  • Минимальное значение функции: $y_{min} = f(0) = -1$.
  • Точки максимума: $x_{max} \in [-5, -3]$ и $x_{max} = 5$.
  • Максимальное значение функции: $y_{max} = 2$.

• Четность: Функция не является ни четной, ни нечетной, так как область определения симметрична относительно нуля, но условие $f(-x) = f(x)$ или $f(-x) = -f(x)$ не выполняется для всех $x$ из области определения (например, $f(3) = \sqrt{2}$, а $f(-3) = 2$).

• Непрерывность: Функция непрерывна на всей области определения $[-5, 5]$.

Ответ: Свойства функции перечислены выше.