Номер 22.33, страница 135, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 22. Как построить график функции у = f(х) + m, если известен график функции у = f(х). Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 22.33, страница 135.

Условие.

22.33 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \begin{cases} -x^2 + 2, \text{ если } -2 \le x \le 1; \\ x, \text{ если } 1 < x \le 4. \end{cases}$

а) Найдите $f(-1,5)$; $f(1)$; $f(4)$.

б) Постройте график функции $y = f(x)$.

в) По графику определите, при каких значениях $x$ $f(x) = 2$, $f(x) = 1$, $f(x) = -2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Дана кусочно-заданная функция:

$f(x) = \begin{cases} -x^2 + 2, & \text{если } -2 \le x \le 1 \\ x, & \text{если } 1 < x \le 4 \end{cases}$

а) Найдите f(-1,5); f(1); f(4).

Чтобы найти значения функции в заданных точках, нужно определить, какому промежутку принадлежит аргумент $x$ и использовать соответствующую формулу.

• Вычисление $f(-1,5)$:
  Значение $x = -1,5$ принадлежит промежутку $-2 \le x \le 1$. Следовательно, используем формулу $f(x) = -x^2 + 2$.
  $f(-1,5) = -(-1,5)^2 + 2 = -2,25 + 2 = -0,25$.

• Вычисление $f(1)$:
  Значение $x = 1$ принадлежит промежутку $-2 \le x \le 1$. Следовательно, используем формулу $f(x) = -x^2 + 2$.
  $f(1) = -(1)^2 + 2 = -1 + 2 = 1$.

• Вычисление $f(4)$:
  Значение $x = 4$ принадлежит промежутку $1 < x \le 4$. Следовательно, используем формулу $f(x) = x$.
  $f(4) = 4$.

Ответ: $f(-1,5) = -0,25$; $f(1) = 1$; $f(4) = 4$.

б) Постройте график функции y = f(x).

График функции состоит из двух частей.

1. На промежутке $[-2; 1]$ строим график функции $y = -x^2 + 2$.
   Это часть параболы, ветви которой направлены вниз. Вершина параболы находится в точке с абсциссой $x_v = - \frac{0}{2 \cdot (-1)} = 0$. Ордината вершины $y_v = -(0)^2 + 2 = 2$. Точка вершины: $(0; 2)$.
   Найдем значения на концах промежутка:
   При $x = -2$, $y = -(-2)^2 + 2 = -4 + 2 = -2$. Точка $(-2; -2)$.
   При $x = 1$, $y = -(1)^2 + 2 = -1 + 2 = 1$. Точка $(1; 1)$.
   Обе конечные точки $(-2; -2)$ и $(1; 1)$ принадлежат графику (закрашенные точки).

2. На промежутке $(1; 4]$ строим график функции $y = x$.
   Это часть прямой, являющейся биссектрисой первого координатного угла.
   Найдем значения на концах промежутка:
   При $x \to 1^+$, $y \to 1$. Точка $(1; 1)$. Так как неравенство строгое ($x > 1$), эта точка выколота. Однако в первой части графика точка $(1; 1)$ включена, поэтому на общем графике разрыва в этой точке нет.
   При $x=4$, $y=4$. Точка $(4; 4)$. Так как неравенство нестрогое ($x \le 4$), эта точка принадлежит графику (закрашенная точка).

Таким образом, график функции $y=f(x)$ представляет собой кривую, состоящую из участка параболы от точки $(-2; -2)$ до точки $(1; 1)$ с вершиной в точке $(0; 2)$, и отрезка прямой от точки $(1; 1)$ до точки $(4; 4)$.

Ответ: График функции построен. Он состоит из участка параболы $y = -x^2 + 2$ на отрезке $[-2; 1]$ и участка прямой $y=x$ на полуинтервале $(1; 4]$.

в) По графику определите, при каких значениях x f(x) = 2, f(x) = 1, f(x) = -2.

Для нахождения искомых значений $x$ проведем на графике горизонтальные прямые и найдем абсциссы точек их пересечения с графиком $y = f(x)$.

• Найдем $x$, при которых $f(x) = 2$.
  Проводим прямую $y=2$. Она пересекает график в двух точках.
  Первая точка пересечения — это вершина параболы, ее абсцисса $x=0$.
  Вторая точка пересечения лежит на прямой $y=x$. Для нее $y=x=2$. Абсцисса этой точки $x=2$.
  Итак, $f(x)=2$ при $x=0$ и $x=2$.

• Найдем $x$, при которых $f(x) = 1$.
  Проводим прямую $y=1$. Она пересекает график в двух точках.
  Обе точки пересечения лежат на параболе $y = -x^2 + 2$. Найдем их абсциссы из уравнения: $-x^2+2=1 \Rightarrow x^2=1 \Rightarrow x=-1$ и $x=1$.
  Прямая $y=x$ также проходит через точку $(1; 1)$, что совпадает с одной из уже найденных точек.
  Итак, $f(x)=1$ при $x=-1$ и $x=1$.

• Найдем $x$, при которых $f(x) = -2$.
  Проводим прямую $y=-2$. Она пересекает график в одной точке, которая является левой конечной точкой параболического участка.
  Абсцисса этой точки $x=-2$.
  Итак, $f(x)=-2$ при $x=-2$.

Ответ: $f(x)=2$ при $x \in \{0; 2\}$; $f(x)=1$ при $x \in \{-1; 1\}$; $f(x)=-2$ при $x=-2$.