Номер 22.39, страница 136, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 22. Как построить график функции у = f(х) + m, если известен график функции у = f(х). Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 22.39, страница 136.

Условие.

22.39 Дана функция $y = f(x)$, где

$f(x) = \begin{cases} 1, & \text{если } -4 \le x \le -2; \\ -0,5x^2 + 3, & \text{если } -2 < x \le 2; \\ \frac{x}{3}, & \text{если } 2 < x \le 4. \end{cases}$

a) Найдите $f(-2)$; $f(0)$; $f(4).

б) Постройте график функции $y = f(x).

в) Перечислите свойства функции.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Дана кусочно-заданная функция:

$f(x) = \begin{cases} 1, & \text{если } -4 \le x \le -2 \\ -0,5x^2 + 3, & \text{если } -2 < x \le 2 \\ \frac{x}{3}, & \text{если } 2 < x \le 4 \end{cases}$

а) Найдите f(-2); f(0); f(4).

Для нахождения значения функции в точке необходимо определить, какому из трех интервалов принадлежит аргумент $x$, и использовать соответствующую формулу.

1. Найдем $f(-2)$.
Значение $x = -2$ принадлежит первому интервалу $-4 \le x \le -2$.
Следовательно, используем формулу $f(x) = 1$.
$f(-2) = 1$.

2. Найдем $f(0)$.
Значение $x = 0$ принадлежит второму интервалу $-2 < x \le 2$.
Следовательно, используем формулу $f(x) = -0,5x^2 + 3$.
$f(0) = -0,5 \cdot (0)^2 + 3 = 0 + 3 = 3$.

3. Найдем $f(4)$.
Значение $x = 4$ принадлежит третьему интервалу $2 < x \le 4$.
Следовательно, используем формулу $f(x) = \frac{x}{3}$.
$f(4) = \frac{4}{3}$.

Ответ: $f(-2) = 1$; $f(0) = 3$; $f(4) = \frac{4}{3}$.

б) Постройте график функции y = f(x).

График функции состоит из трех частей, каждая из которых строится на своем интервале.

1. На интервале $[-4, -2]$ функция имеет вид $y = 1$.
Это отрезок горизонтальной прямой, проходящей через точки $(-4, 1)$ и $(-2, 1)$. Обе точки закрашенные, так как концы интервала включены.

2. На интервале $(-2, 2]$ функция имеет вид $y = -0,5x^2 + 3$.
Это часть параболы, ветви которой направлены вниз. Найдем координаты вершины параболы: $x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot (-0,5)} = 0$.
$y_в = -0,5 \cdot 0^2 + 3 = 3$.
Вершина параболы находится в точке $(0, 3)$.
Найдем значения функции на концах интервала:
При $x \to -2$, $y \to -0,5(-2)^2 + 3 = -2 + 3 = 1$. Точка $(-2, 1)$ будет выколотой (пустой), так как $x = -2$ не входит в данный интервал.
При $x = 2$, $y = -0,5(2)^2 + 3 = -2 + 3 = 1$. Точка $(2, 1)$ будет закрашенной.
Таким образом, это дуга параболы с вершиной в $(0, 3)$, соединяющая точку $(-2, 1)$ (которая совпадает с концом предыдущего отрезка, делая функцию непрерывной в этой точке) и точку $(2, 1)$.

3. На интервале $(2, 4]$ функция имеет вид $y = \frac{x}{3}$.
Это отрезок прямой. Найдем координаты его концов:
При $x \to 2$, $y \to \frac{2}{3}$. Точка $(2, \frac{2}{3})$ будет выколотой.
При $x = 4$, $y = \frac{4}{3}$. Точка $(4, \frac{4}{3})$ будет закрашенной.
В точке $x=2$ происходит разрыв: график "прыгает" из точки $(2, 1)$ в точку $(2, \frac{2}{3})$.

Ответ: График функции состоит из:
1) отрезка горизонтальной прямой от точки $(-4, 1)$ до точки $(-2, 1)$;
2) дуги параболы с вершиной в $(0, 3)$, идущей от точки $(-2, 1)$ до точки $(2, 1)$ (включительно);
3) отрезка прямой от точки $(2, \frac{2}{3})$ (выколота) до точки $(4, \frac{4}{3})$ (включительно).

в) Перечислите свойства функции.

1. Область определения функции $D(f)$: объединение всех интервалов.
$D(f) = [-4, -2] \cup (-2, 2] \cup (2, 4] = [-4, 4]$.

2. Область значений функции $E(f)$: множество всех значений, которые принимает $y$.
На $[-4, -2]$: $y=1$.
На $(-2, 2]$: $y$ изменяется от $1$ до $3$ и обратно до $1$, диапазон $[1, 3]$.
На $(2, 4]$: $y$ изменяется от $\frac{2}{3}$ до $\frac{4}{3}$, диапазон $(\frac{2}{3}, \frac{4}{3}]$.
Объединяя все значения, получаем $E(f) = (\frac{2}{3}; 3]$.

3. Четность: Область определения $D(f) = [-4, 4]$ симметрична относительно нуля. Проверим условие $f(-x) = f(x)$.
Возьмем $x = 4$. $f(4) = \frac{4}{3}$.
$f(-4) = 1$.
Так как $f(-4) \ne f(4)$ и $f(-4) \ne -f(4)$, функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида).

4. Нули функции и промежутки знакопостоянства: Нули функции - это значения $x$, при которых $f(x)=0$.
$1 = 0$ - нет решений.
$-0,5x^2 + 3 = 0 \implies x^2 = 6 \implies x = \pm\sqrt{6}$. Эти значения не входят в интервал $(-2, 2]$.
$\frac{x}{3} = 0 \implies x = 0$. Это значение не входит в интервал $(2, 4]$.
Нулей у функции нет. Так как $f(0)=3>0$, а нулей нет, то функция сохраняет знак на всей области определения. $f(x) > 0$ при всех $x \in [-4, 4]$.

5. Промежутки монотонности:
- Функция постоянна на отрезке $[-4, -2]$.
- Функция возрастает на отрезке $[-2, 0]$ и на полуинтервале $(2, 4]$.
- Функция убывает на отрезке $[0, 2]$.

6. Точки экстремума:
- $x_{max} = 0$ - точка локального и глобального максимума, $y_{max} = f(0) = 3$.
- $x=4$ - точка локального максимума, $f(4) = \frac{4}{3}$.
- $x=-2$ - точка локального минимума, $f(-2)=1$. Все точки интервала $[-4, -2)$ также являются точками нестрогого локального минимума.

7. Непрерывность:
Функция непрерывна на всей области определения, кроме точки $x=2$.
$\lim_{x\to 2^-} f(x) = 1$, а $\lim_{x\to 2^+} f(x) = \frac{2}{3}$.
В точке $x=2$ функция терпит разрыв первого рода (скачок).

Ответ: Свойства функции:
1. Область определения: $D(f) = [-4, 4]$.
2. Область значений: $E(f) = (\frac{2}{3}; 3]$.
3. Функция общего вида (не является ни четной, ни нечетной).
4. Нулей нет. $f(x)>0$ на всей области определения.
5. Постоянна на $[-4, -2]$, возрастает на $[-2, 0]$ и на $(2, 4]$, убывает на $[0, 2]$.
6. Точка максимума $x=0$, $y_{max}=3$. Точки локального максимума $x=0$ и $x=4$. Точка локального минимума $x=-2$.
7. Непрерывна на $[-4, 2) \cup (2, 4]$. В точке $x=2$ - разрыв первого рода.