Номер 22.34, страница 135, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 22. Как построить график функции у = f(х) + m, если известен график функции у = f(х). Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 22.34, страница 135.

Условие.

22.34 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \begin{cases} -3x^2 + 2, & \text{если } -1 \le x \le 1; \\ \frac{3}{x}, & \text{если } 1 < x \le 3. \end{cases}$

а) Найдите $f(-1)$; $f\left(\frac{1}{3}\right)$; $f(3)$.

б) Постройте график функции $y = f(x)$.

в) Перечислите свойства функции.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Для нахождения значений функции в заданных точках необходимо определить, какому интервалу принадлежит аргумент $x$, и подставить его в соответствующую формулу.

1. Найдем $f(-1)$.
Значение $x = -1$ принадлежит отрезку $[-1, 1]$, поэтому используем первую формулу: $f(x) = -3x^2 + 2$.
$f(-1) = -3(-1)^2 + 2 = -3 \cdot 1 + 2 = -3 + 2 = -1$.

2. Найдем $f(\frac{1}{3})$.
Значение $x = \frac{1}{3}$ также принадлежит отрезку $[-1, 1]$, поэтому снова используем первую формулу: $f(x) = -3x^2 + 2$.
$f(\frac{1}{3}) = -3(\frac{1}{3})^2 + 2 = -3 \cdot \frac{1}{9} + 2 = -\frac{1}{3} + 2 = \frac{5}{3}$.

3. Найдем $f(3)$.
Значение $x = 3$ принадлежит полуинтервалу $(1, 3]$, поэтому используем вторую формулу: $f(x) = \frac{3}{x}$.
$f(3) = \frac{3}{3} = 1$.

Ответ: $f(-1) = -1$; $f(\frac{1}{3}) = \frac{5}{3}$; $f(3) = 1$.

б)

График функции $y = f(x)$ состоит из двух частей, построенных на разных промежутках.

1. На отрезке $[-1, 1]$ строим график функции $y = -3x^2 + 2$.
Это парабола, ветви которой направлены вниз. Вершина параболы находится в точке $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot (-3)} = 0$. Ордината вершины $y_v = -3(0)^2 + 2 = 2$. Таким образом, вершина параболы — точка $(0, 2)$.
Найдем значения на концах отрезка:
$f(-1) = -1$, точка $(-1, -1)$.
$f(1) = -3(1)^2 + 2 = -1$, точка $(1, -1)$.
Обе точки принадлежат графику (закрашенные).

2. На полуинтервале $(1, 3]$ строим график функции $y = \frac{3}{x}$.
Это часть гиперболы, расположенной в первой координатной четверти.
Найдем значения на концах промежутка:
При $x \to 1^+$, $y \to \frac{3}{1} = 3$. Точка $(1, 3)$ не принадлежит графику (выколотая).
При $x = 3$, $y = \frac{3}{3} = 1$. Точка $(3, 1)$ принадлежит графику (закрашенная).

Объединяем эти две части на одной координатной плоскости.

Ответ:

в)

Основные свойства функции $y=f(x)$:

Ответ:

• Область определения функции: $D(f) = [-1, 3]$.
• Область значений функции: $E(f) = [-1, 3)$.
• Нули функции (точки пересечения с осью Ox): $f(x)=0$ при $x = -\frac{\sqrt{6}}{3}$ и $x = \frac{\sqrt{6}}{3}$.
• Промежутки знакопостоянства:
  • $f(x) > 0$ при $x \in (-\frac{\sqrt{6}}{3}, \frac{\sqrt{6}}{3}) \cup (1, 3]$;
  • $f(x) < 0$ при $x \in [-1, -\frac{\sqrt{6}}{3}) \cup (\frac{\sqrt{6}}{3}, 1]$.
• Четность: функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида), так как ее область определения несимметрична относительно нуля.
• Монотонность:
  • функция возрастает на отрезке $[-1, 0]$;
  • функция убывает на отрезке $[0, 1]$ и на полуинтервале $(1, 3]$.
• Экстремумы:
  • точка максимума $x_{max} = 0$, значение в максимуме $y_{max} = 2$;
  • наименьшее значение функции $y_{min} = -1$ достигается в точках $x=-1$ и $x=1$;
  • наибольшего значения функция не достигает (верхняя грань значений равна 3).
• Непрерывность: функция непрерывна на множестве $[-1, 1) \cup (1, 3]$. В точке $x=1$ функция имеет разрыв первого рода (скачок), так как $\lim_{x \to 1^-} f(x) = -1$, а $\lim_{x \to 1^+} f(x) = 3$.