Номер 22.29, страница 134, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 22. Как построить график функции у = f(х) + m, если известен график функции у = f(х). Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 22.29, страница 134.

Условие.

22.29 Постройте график функции $y = |x| - 1$. С помощью графика найдите:

а) значение $y$ при $x = 0; -2; 3;$

б) значения $x$, если $y = 3; 0; -2;$

в) значения $x$, при которых $y < 0, y > 0;$

г) наименьшее значение функции.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Для построения графика функции $y = |x| - 1$ воспользуемся известным графиком функции $y = |x|$. График функции $y = |x|$ представляет собой "галочку", состоящую из двух лучей: $y = x$ для $x \ge 0$ и $y = -x$ для $x < 0$. Вершина этой "галочки" находится в точке $(0, 0)$.

График функции $y = |x| - 1$ получается из графика $y = |x|$ путем сдвига (параллельного переноса) на 1 единицу вниз вдоль оси OY. Таким образом, вершина графика сместится из точки $(0, 0)$ в точку $(0, -1)$.

Составим таблицу значений для построения:

$x$	-3	-2	-1	0	1	2	3
$y = |x| - 1$	2	1	0	-1	0	1	2

График функции — это V-образная линия с вершиной в точке $(0, -1)$, проходящая через точки $(-1, 0)$ и $(1, 0)$. Ветви графика направлены вверх.

Теперь с помощью построенного графика найдем требуемые значения.

а) значение y при x = 0; -2; 3;

Находим на графике точки с заданными абсциссами и определяем их ординаты:

• При $x = 0$, точка на графике — это его вершина $(0, -1)$. Следовательно, $y = -1$.
• При $x = -2$, находим на графике точку $(-2, 1)$. Следовательно, $y = 1$.
• При $x = 3$, находим на графике точку $(3, 2)$. Следовательно, $y = 2$.

Ответ: при $x = 0$, $y = -1$; при $x = -2$, $y = 1$; при $x = 3$, $y = 2$.

б) значения x, если y = 3; 0; -2;

Проводим горизонтальные прямые на уровне заданных значений $y$ и находим абсциссы точек пересечения этих прямых с графиком функции:

• При $y = 3$, прямая $y=3$ пересекает график в двух точках. Их абсциссы равны $x = -4$ и $x = 4$.
• При $y = 0$, прямая $y=0$ (ось OX) пересекает график в двух точках. Их абсциссы равны $x = -1$ и $x = 1$.
• При $y = -2$, прямая $y=-2$ не пересекает график, так как самая низкая точка графика имеет ординату $-1$. Следовательно, таких значений $x$ не существует.

Ответ: при $y = 3$, $x = \pm 4$; при $y = 0$, $x = \pm 1$; при $y = -2$, решений нет.

в) значения x, при которых y < 0, y > 0;

Анализируем расположение графика относительно оси OX:

• Значения $y < 0$ соответствуют участку графика, который расположен ниже оси OX. Это происходит на интервале между точками пересечения с осью, то есть между $x = -1$ и $x = 1$. Таким образом, $y < 0$ при $x \in (-1, 1)$.
• Значения $y > 0$ соответствуют участкам графика, которые расположены выше оси OX. Это происходит, когда $x$ находится левее точки $x = -1$ или правее точки $x = 1$. Таким образом, $y > 0$ при $x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$.

Ответ: $y < 0$ при $x \in (-1, 1)$; $y > 0$ при $x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$.

г) наименьшее значение функции.

Наименьшее значение функции — это ордината самой низкой точки графика. Для функции $y = |x| - 1$ такой точкой является вершина $(0, -1)$. Следовательно, наименьшее значение функции равно $-1$.

Ответ: $-1$.