Номер 24.7, страница 144, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 24. Функция у = ах^2 + bx + с, её свойства и график. Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 24.7, страница 144.

Условие.

Постройте график функции:

24.7 а) $y = x^2 + 4x + 5;$

б) $y = -x^2 + 2x - 3;$

в) $y = -x^2 + 2x + 2;$

г) $y = x^2 - 4x + 1.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) $y = x^2 + 4x + 5$

1. Данная функция является квадратичной, её график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $a = 1$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.

2. Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$.

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2$

$y_0 = y(-2) = (-2)^2 + 4(-2) + 5 = 4 - 8 + 5 = 1$

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(-2, 1)$. Ось симметрии параболы — прямая $x = -2$.

3. Найдем точки пересечения графика с осями координат.

С осью OY (при $x = 0$):

$y(0) = 0^2 + 4 \cdot 0 + 5 = 5$. Точка пересечения с осью OY: $(0, 5)$.

С осью OX (при $y = 0$):

$x^2 + 4x + 5 = 0$

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4$.

Так как $D < 0$, действительных корней нет, и парабола не пересекает ось OX.

4. Найдем несколько дополнительных точек. Используем симметрию относительно оси $x = -2$.

Точка $(0, 5)$ симметрична точке с абсциссой $x = -2 - 2 = -4$. Ордината та же: $y(-4) = (-4)^2 + 4(-4) + 5 = 16 - 16 + 5 = 5$. Получаем точку $(-4, 5)$.

Возьмем $x = -1$: $y(-1) = (-1)^2 + 4(-1) + 5 = 1 - 4 + 5 = 2$. Получаем точку $(-1, 2)$.

Симметричная ей точка имеет абсциссу $x = -2 - 1 = -3$ и ту же ординату. Проверим: $y(-3) = (-3)^2 + 4(-3) + 5 = 9 - 12 + 5 = 2$. Получаем точку $(-3, 2)$.

5. Для построения графика отмечаем вершину $(-2, 1)$ и точки $(0, 5)$, $(-4, 5)$, $(-1, 2)$, $(-3, 2)$. Соединяем их плавной линией.

Ответ: Графиком функции является парабола с вершиной в точке $(-2, 1)$ и ветвями, направленными вверх. Парабола не пересекает ось OX и пересекает ось OY в точке $(0, 5)$.

б) $y = -x^2 + 2x - 3$

1. Это квадратичная функция, её график — парабола. Коэффициент $a = -1 < 0$, поэтому ветви параболы направлены вниз.

2. Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$.

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = 1$

$y_0 = y(1) = -(1)^2 + 2(1) - 3 = -1 + 2 - 3 = -2$

Вершина параболы находится в точке $(1, -2)$. Ось симметрии — прямая $x = 1$.

3. Найдем точки пересечения с осями координат.

С осью OY (при $x = 0$):

$y(0) = -0^2 + 2 \cdot 0 - 3 = -3$. Точка пересечения с осью OY: $(0, -3)$.

С осью OX (при $y = 0$):

$-x^2 + 2x - 3 = 0 \implies x^2 - 2x + 3 = 0$

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8$.

Так как $D < 0$, действительных корней нет, парабола не пересекает ось OX.

4. Найдем дополнительные точки, используя ось симметрии $x = 1$.

Точке $(0, -3)$ симметрична точка с абсциссой $x = 1 + 1 = 2$ и ординатой $y = -3$. Получаем точку $(2, -3)$.

Возьмем $x = -1$: $y(-1) = -(-1)^2 + 2(-1) - 3 = -1 - 2 - 3 = -6$. Точка $(-1, -6)$.

Симметричная ей точка имеет абсциссу $x = 1 + (1 - (-1)) = 3$. Проверим: $y(3) = -(3)^2 + 2(3) - 3 = -9 + 6 - 3 = -6$. Точка $(3, -6)$.

5. Для построения графика отмечаем вершину $(1, -2)$ и точки $(0, -3)$, $(2, -3)$, $(-1, -6)$, $(3, -6)$ и соединяем их плавной кривой.

Ответ: Графиком функции является парабола с вершиной в точке $(1, -2)$ и ветвями, направленными вниз. Парабола не пересекает ось OX и пересекает ось OY в точке $(0, -3)$.

в) $y = -x^2 + 2x + 2$

1. График функции — парабола. Коэффициент $a = -1 < 0$, ветви параболы направлены вниз.

2. Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$.

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = 1$

$y_0 = y(1) = -(1)^2 + 2(1) + 2 = -1 + 2 + 2 = 3$

Вершина параболы находится в точке $(1, 3)$. Ось симметрии — прямая $x = 1$.

3. Найдем точки пересечения с осями координат.

С осью OY (при $x = 0$):

$y(0) = -0^2 + 2 \cdot 0 + 2 = 2$. Точка пересечения с осью OY: $(0, 2)$.

С осью OX (при $y = 0$):

$-x^2 + 2x + 2 = 0 \implies x^2 - 2x - 2 = 0$

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 4 + 8 = 12$.

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$.

Точки пересечения с осью OX: $(1 - \sqrt{3}, 0)$ и $(1 + \sqrt{3}, 0)$. (Приблизительно $(-0.73, 0)$ и $(2.73, 0)$).

4. Найдем дополнительные точки. Ось симметрии $x=1$.

Точке $(0, 2)$ симметрична точка с абсциссой $x = 1+1=2$ и ординатой $y=2$. Точка $(2, 2)$.

Возьмем $x = -1$: $y(-1) = -(-1)^2 + 2(-1) + 2 = -1 - 2 + 2 = -1$. Точка $(-1, -1)$.

Симметричная ей точка имеет абсциссу $x = 1+(1-(-1))=3$. $y(3) = -(3)^2 + 2(3) + 2 = -9 + 6 + 2 = -1$. Точка $(3, -1)$.

5. Для построения графика отмечаем вершину $(1, 3)$, точки пересечения с осями $(0, 2)$, $(1-\sqrt{3}, 0)$, $(1+\sqrt{3}, 0)$ и дополнительные точки $(2, 2)$, $(-1, -1)$, $(3, -1)$. Соединяем их плавной кривой.

Ответ: Графиком функции является парабола с вершиной в точке $(1, 3)$ и ветвями, направленными вниз. Парабола пересекает ось OY в точке $(0, 2)$ и ось OX в точках $(1 - \sqrt{3}, 0)$ и $(1 + \sqrt{3}, 0)$.

г) $y = x^2 - 4x + 1$

1. График функции — парабола. Коэффициент $a = 1 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

2. Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$.

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$

$y_0 = y(2) = (2)^2 - 4(2) + 1 = 4 - 8 + 1 = -3$

Вершина параболы находится в точке $(2, -3)$. Ось симметрии — прямая $x = 2$.

3. Найдем точки пересечения с осями координат.

С осью OY (при $x = 0$):

$y(0) = 0^2 - 4 \cdot 0 + 1 = 1$. Точка пересечения с осью OY: $(0, 1)$.

С осью OX (при $y = 0$):

$x^2 - 4x + 1 = 0$

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 16 - 4 = 12$.

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$.

Точки пересечения с осью OX: $(2 - \sqrt{3}, 0)$ и $(2 + \sqrt{3}, 0)$. (Приблизительно $(0.27, 0)$ и $(3.73, 0)$).

4. Найдем дополнительные точки. Ось симметрии $x = 2$.

Точке $(0, 1)$ симметрична точка с абсциссой $x = 2+2=4$ и ординатой $y=1$. Точка $(4, 1)$.

Возьмем $x = 1$: $y(1) = 1^2 - 4(1) + 1 = 1 - 4 + 1 = -2$. Точка $(1, -2)$.

Симметричная ей точка имеет абсциссу $x = 2+(2-1)=3$. $y(3) = 3^2 - 4(3) + 1 = 9 - 12 + 1 = -2$. Точка $(3, -2)$.

5. Для построения графика отмечаем вершину $(2, -3)$, точки пересечения с осями $(0, 1)$, $(2-\sqrt{3}, 0)$, $(2+\sqrt{3}, 0)$ и дополнительные точки $(4, 1)$, $(1, -2)$, $(3, -2)$. Соединяем их плавной кривой.

Ответ: Графиком функции является парабола с вершиной в точке $(2, -3)$ и ветвями, направленными вверх. Парабола пересекает ось OY в точке $(0, 1)$ и ось OX в точках $(2 - \sqrt{3}, 0)$ и $(2 + \sqrt{3}, 0)$.