Номер 24.8, страница 144, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 24. Функция у = ах^2 + bx + с, её свойства и график. Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 24.8, страница 144.

Условие.

24.8 а) $y = x^2 + 6x;$

б) $y = -x^2 + 2x;$

в) $y = x^2 - 6x;$

г) $y = -x^2 - 4x.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Рассмотрим квадратичную функцию $y = x^2 + 6x$. Это парабола, график которой задается уравнением вида $y = ax^2 + bx + c$. В данном случае коэффициенты равны $a=1$, $b=6$, $c=0$.

1. Направление ветвей параболы. Так как коэффициент $a=1 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

2. Координаты вершины параболы. Координаты вершины $(x_0, y_0)$ находятся по формулам:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot 1} = -3$.

$y_0 = y(x_0) = (-3)^2 + 6(-3) = 9 - 18 = -9$.

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(-3, -9)$.

3. Точки пересечения с осями координат.

Для нахождения точки пересечения с осью OY, подставим $x=0$ в уравнение функции:

$y = 0^2 + 6 \cdot 0 = 0$. Точка пересечения с осью OY — $(0, 0)$.

Для нахождения точек пересечения с осью OX, подставим $y=0$ и решим уравнение:

$x^2 + 6x = 0$

$x(x+6) = 0$

Отсюда получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = -6$. Точки пересечения с осью OX — $(0, 0)$ и $(-6, 0)$.

Ответ: Графиком функции является парабола с ветвями, направленными вверх. Вершина параболы находится в точке $(-3, -9)$. График пересекает ось OX в точках $(0, 0)$ и $(-6, 0)$ и ось OY в точке $(0, 0)$.

б)

Рассмотрим квадратичную функцию $y = -x^2 + 2x$. Коэффициенты: $a=-1$, $b=2$, $c=0$.

1. Направление ветвей параболы. Так как коэффициент $a=-1 < 0$, ветви параболы направлены вниз.

2. Координаты вершины параболы.

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = -\frac{2}{-2} = 1$.

$y_0 = y(x_0) = -(1)^2 + 2(1) = -1 + 2 = 1$.

Вершина параболы находится в точке $(1, 1)$.

3. Точки пересечения с осями координат.

Пересечение с осью OY ($x=0$): $y = -0^2 + 2 \cdot 0 = 0$. Точка — $(0, 0)$.

Пересечение с осью OX ($y=0$):

$-x^2 + 2x = 0$

$x(-x+2) = 0$

Корни: $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$. Точки — $(0, 0)$ и $(2, 0)$.

Ответ: Графиком функции является парабола с ветвями, направленными вниз. Вершина параболы находится в точке $(1, 1)$. График пересекает ось OX в точках $(0, 0)$ и $(2, 0)$ и ось OY в точке $(0, 0)$.

в)

Рассмотрим квадратичную функцию $y = x^2 - 6x$. Коэффициенты: $a=1$, $b=-6$, $c=0$.

1. Направление ветвей параболы. Так как коэффициент $a=1 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

2. Координаты вершины параболы.

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$.

$y_0 = y(x_0) = (3)^2 - 6(3) = 9 - 18 = -9$.

Вершина параболы находится в точке $(3, -9)$.

3. Точки пересечения с осями координат.

Пересечение с осью OY ($x=0$): $y = 0^2 - 6 \cdot 0 = 0$. Точка — $(0, 0)$.

Пересечение с осью OX ($y=0$):

$x^2 - 6x = 0$

$x(x-6) = 0$

Корни: $x_1 = 0$ и $x_2 = 6$. Точки — $(0, 0)$ и $(6, 0)$.

Ответ: Графиком функции является парабола с ветвями, направленными вверх. Вершина параболы находится в точке $(3, -9)$. График пересекает ось OX в точках $(0, 0)$ и $(6, 0)$ и ось OY в точке $(0, 0)$.

г)

Рассмотрим квадратичную функцию $y = -x^2 - 4x$. Коэффициенты: $a=-1$, $b=-4$, $c=0$.

1. Направление ветвей параболы. Так как коэффициент $a=-1 < 0$, ветви параболы направлены вниз.

2. Координаты вершины параболы.

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot (-1)} = -\frac{-4}{-2} = -2$.

$y_0 = y(x_0) = -(-2)^2 - 4(-2) = -4 + 8 = 4$.

Вершина параболы находится в точке $(-2, 4)$.

3. Точки пересечения с осями координат.

Пересечение с осью OY ($x=0$): $y = -0^2 - 4 \cdot 0 = 0$. Точка — $(0, 0)$.

Пересечение с осью OX ($y=0$):

$-x^2 - 4x = 0$

$-x(x+4) = 0$

Корни: $x_1 = 0$ и $x_2 = -4$. Точки — $(0, 0)$ и $(-4, 0)$.

Ответ: Графиком функции является парабола с ветвями, направленными вниз. Вершина параболы находится в точке $(-2, 4)$. График пересекает ось OX в точках $(0, 0)$ и $(-4, 0)$ и ось OY в точке $(0, 0)$.