Номер 24.13, страница 145, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 24. Функция у = ах^2 + bx + с, её свойства и график. Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 24.13, страница 145.

Условие.

24.13 Найдите значение коэффициента c и постройте график функции $y = x^2 - 6x + c$, если известно, что наименьшее значение функции равно 1.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Нахождение значения коэффициента c

Дана квадратичная функция $y = x^2 - 6x + c$. Графиком этой функции является парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $a=1$, он положительный, поэтому ветви параболы направлены вверх. Наименьшее значение такая функция принимает в своей вершине.

Абсцисса вершины параболы $y = ax^2 + bx + c$ находится по формуле $x_v = -b / (2a)$.
Для нашей функции $a=1$ и $b=-6$.
$x_v = -(-6) / (2 \cdot 1) = 6 / 2 = 3$.

Наименьшее значение функции — это ордината вершины $y_v$. Согласно условию задачи, оно равно 1. Таким образом, $y_v = 1$.
Координаты вершины параболы: $(3; 1)$.

Теперь мы можем найти коэффициент $c$, подставив координаты вершины в исходное уравнение функции:
$1 = (3)^2 - 6 \cdot 3 + c$
$1 = 9 - 18 + c$
$1 = -9 + c$
$c = 1 + 9 = 10$.

Ответ: Значение коэффициента $c$ равно 10.

Построение графика функции

Мы нашли, что $c=10$, поэтому уравнение функции: $y = x^2 - 6x + 10$.
Для построения графика (параболы) нам нужны ключевые точки.

1. Вершина параболы: Мы уже определили ее координаты — $(3; 1)$.

2. Ось симметрии: Вертикальная прямая $x = 3$.

3. Точки пересечения с осями координат:
- С осью OY (при $x=0$): $y = 0^2 - 6(0) + 10 = 10$. Точка $(0; 10)$.
- С осью OX (при $y=0$): Решаем уравнение $x^2 - 6x + 10 = 0$. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 36 - 40 = -4$. Поскольку $D < 0$, у уравнения нет действительных корней, и график не пересекает ось OX.

4. Дополнительные точки: Для точности построения найдем еще несколько точек, используя симметрию относительно оси $x=3$.

Составим таблицу значений:

x	0	1	2	3	4	5	6
y	10	5	2	1	2	5	10

Соединив эти точки плавной линией, получаем график функции $y = x^2 - 6x + 10$ — параболу с вершиной в точке $(3; 1)$ и ветвями, направленными вверх.

Ответ: График функции $y = x^2 - 6x + 10$ — это парабола с вершиной в точке $(3; 1)$, ветви которой направлены вверх. Она проходит через точки, указанные в таблице, в частности через $(0; 10)$, $(1; 5)$ и $(2; 2)$, а также симметричные им точки $(6; 10)$, $(5; 5)$ и $(4; 2)$.