Страница 145, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

24.13 Найдите значение коэффициента c и постройте график функции $y = x^2 - 6x + c$, если известно, что наименьшее значение функции равно 1.

Нахождение значения коэффициента c

Дана квадратичная функция $y = x^2 - 6x + c$. Графиком этой функции является парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $a=1$, он положительный, поэтому ветви параболы направлены вверх. Наименьшее значение такая функция принимает в своей вершине.

Абсцисса вершины параболы $y = ax^2 + bx + c$ находится по формуле $x_v = -b / (2a)$.
Для нашей функции $a=1$ и $b=-6$.
$x_v = -(-6) / (2 \cdot 1) = 6 / 2 = 3$.

Наименьшее значение функции — это ордината вершины $y_v$. Согласно условию задачи, оно равно 1. Таким образом, $y_v = 1$.
Координаты вершины параболы: $(3; 1)$.

Теперь мы можем найти коэффициент $c$, подставив координаты вершины в исходное уравнение функции:
$1 = (3)^2 - 6 \cdot 3 + c$
$1 = 9 - 18 + c$
$1 = -9 + c$
$c = 1 + 9 = 10$.

Ответ: Значение коэффициента $c$ равно 10.

Построение графика функции

Мы нашли, что $c=10$, поэтому уравнение функции: $y = x^2 - 6x + 10$.
Для построения графика (параболы) нам нужны ключевые точки.

1. Вершина параболы: Мы уже определили ее координаты — $(3; 1)$.

2. Ось симметрии: Вертикальная прямая $x = 3$.

3. Точки пересечения с осями координат:
- С осью OY (при $x=0$): $y = 0^2 - 6(0) + 10 = 10$. Точка $(0; 10)$.
- С осью OX (при $y=0$): Решаем уравнение $x^2 - 6x + 10 = 0$. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 36 - 40 = -4$. Поскольку $D < 0$, у уравнения нет действительных корней, и график не пересекает ось OX.

4. Дополнительные точки: Для точности построения найдем еще несколько точек, используя симметрию относительно оси $x=3$.

Составим таблицу значений:

Соединив эти точки плавной линией, получаем график функции $y = x^2 - 6x + 10$ — параболу с вершиной в точке $(3; 1)$ и ветвями, направленными вверх.

Ответ: График функции $y = x^2 - 6x + 10$ — это парабола с вершиной в точке $(3; 1)$, ветви которой направлены вверх. Она проходит через точки, указанные в таблице, в частности через $(0; 10)$, $(1; 5)$ и $(2; 2)$, а также симметричные им точки $(6; 10)$, $(5; 5)$ и $(4; 2)$.

24.14 Найдите значение коэффициента $c$ и постройте график функции $y = -x^2 + 4x + c$, если известно, что наибольшее значение функции равно 2.

Нахождение значения коэффициента c

Дана функция $y = -x^2 + 4x + c$. Это квадратичная функция, графиком которой является парабола. Так как коэффициент при $x^2$ равен -1 (отрицательное число), ветви параболы направлены вниз. Следовательно, свое наибольшее значение функция принимает в вершине параболы.

Координаты вершины параболы $(x_в, y_в)$ для функции вида $y = ax^2 + bx + c$ можно найти по формуле для абсциссы вершины: $x_в = -b / (2a)$

В нашем случае коэффициенты $a = -1$ и $b = 4$. Вычислим абсциссу вершины:
$x_в = -4 / (2 \cdot (-1)) = -4 / (-2) = 2$.

По условию задачи, наибольшее значение функции равно 2. Это значение является ординатой вершины, то есть $y_в = 2$. Таким образом, координаты вершины параболы: $(2; 2)$.

Чтобы найти коэффициент $c$, подставим координаты вершины $(2; 2)$ в уравнение функции:
$y = -x^2 + 4x + c$
$2 = -(2)^2 + 4 \cdot 2 + c$
$2 = -4 + 8 + c$
$2 = 4 + c$
$c = 2 - 4$
$c = -2$

Ответ: $c = -2$.

Построение графика функции

После нахождения $c$ функция принимает вид $y = -x^2 + 4x - 2$. Для построения графика определим его ключевые характеристики и точки.
1. График — парабола, ветви которой направлены вниз.
2. Вершина параболы находится в точке $(2; 2)$.
3. Ось симметрии — вертикальная прямая $x = 2$.

Найдем точки пересечения с осями координат:
- Точка пересечения с осью OY: для этого подставим $x = 0$ в уравнение.
$y(0) = -(0)^2 + 4 \cdot 0 - 2 = -2$.
Получаем точку $(0; -2)$.
- Точки пересечения с осью OX (нули функции): для этого решим уравнение $y = 0$.
$-x^2 + 4x - 2 = 0$
Умножим обе части на -1: $x^2 - 4x + 2 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 16 - 8 = 8$.
Корни уравнения: $x_{1,2} = (4 \pm \sqrt{8}) / 2 = (4 \pm 2\sqrt{2}) / 2 = 2 \pm \sqrt{2}$.
$x_1 = 2 - \sqrt{2} \approx 0.59$
$x_2 = 2 + \sqrt{2} \approx 3.41$
Получаем точки $(2 - \sqrt{2}; 0)$ и $(2 + \sqrt{2}; 0)$.

Найдем несколько дополнительных точек, используя ось симметрии $x=2$:
- Возьмем $x = 1$. $y(1) = -(1)^2 + 4(1) - 2 = -1 + 4 - 2 = 1$. Точка $(1; 1)$.
- Симметричная ей точка относительно оси $x=2$ имеет абсциссу $x = 3$. Ордината будет той же: $y=1$. Точка $(3; 1)$.
- Точка, симметричная точке $(0; -2)$, имеет абсциссу $x = 4$. Ордината будет той же: $y=-2$. Точка $(4; -2)$.

Для построения графика нанесем на координатную плоскость вершину $(2; 2)$, точки пересечения с осями $(0; -2)$, $(2 - \sqrt{2}; 0)$, $(2 + \sqrt{2}; 0)$ и дополнительные точки $(1; 1)$, $(3; 1)$, $(4; -2)$, после чего соединим их плавной линией.

Ответ: График функции $y = -x^2 + 4x - 2$ — это парабола с вершиной в точке $(2; 2)$, ветви которой направлены вниз. Парабола пересекает ось ординат в точке $(0; -2)$ и ось абсцисс в точках $(2 - \sqrt{2}; 0)$ и $(2 + \sqrt{2}; 0)$.

24.15 Для функции $y = 2x^2 + 4x - 1$ найдите наименьшее и наибольшее значения:

а) на отрезке $[-1; 0]$;

б) на луче $[-2; +\infty)$;

в) на отрезке $[0; 5]$;

г) на луче $(-\infty; -3]$.

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции $y = 2x^2 + 4x - 1$ на различных промежутках, сначала исследуем ее свойства.Это квадратичная функция, график которой — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $2$, что больше нуля, следовательно, ветви параболы направлены вверх. Это означает, что функция имеет точку минимума (вершину) и не имеет глобального максимума.

Найдем координаты вершины параболы $(x_в, y_в)$.

Абсцисса вершины находится по формуле $x_в = -\frac{b}{2a}$:

$x_в = -\frac{4}{2 \cdot 2} = -\frac{4}{4} = -1$.

Ордината вершины (минимальное значение функции на всей области определения) находится подстановкой $x_в$ в уравнение функции:

$y_в = 2(-1)^2 + 4(-1) - 1 = 2 \cdot 1 - 4 - 1 = -3$.

Вершина параболы находится в точке $(-1; -3)$.Функция убывает на промежутке $(-\infty; -1]$ и возрастает на промежутке $[-1; +\infty)$.

Теперь рассмотрим каждый промежуток отдельно.

а) на отрезке [-1; 0]

Данный отрезок начинается в точке вершины параболы ($x_в = -1$). На всем отрезке $[-1; 0]$ функция возрастает. Следовательно, наименьшее значение будет в начале отрезка, а наибольшее — в конце.

Наименьшее значение при $x = -1$:

$y_{наим} = y(-1) = -3$.

Наибольшее значение при $x = 0$:

$y_{наиб} = y(0) = 2(0)^2 + 4(0) - 1 = -1$.

Ответ: наименьшее значение $-3$, наибольшее значение $-1$.

б) на луче [-2; +∞)

Абсцисса вершины $x_в = -1$ принадлежит данному лучу. Так как ветви параболы направлены вверх, наименьшее значение функции на этом луче достигается в вершине.

Наименьшее значение:

$y_{наим} = y(-1) = -3$.

Поскольку луч уходит в $+\infty$, значения функции неограниченно возрастают. Таким образом, наибольшего значения на данном луче не существует.

Ответ: наименьшее значение $-3$, наибольшего значения не существует.

в) на отрезке [0; 5]

Вершина параболы ($x_в = -1$) не входит в данный отрезок. Весь отрезок $[0; 5]$ находится на возрастающем участке функции. Следовательно, наименьшее значение будет в левой конечной точке отрезка, а наибольшее — в правой.

Наименьшее значение при $x = 0$:

$y_{наим} = y(0) = 2(0)^2 + 4(0) - 1 = -1$.

Наибольшее значение при $x = 5$:

$y_{наиб} = y(5) = 2(5)^2 + 4(5) - 1 = 2 \cdot 25 + 20 - 1 = 50 + 20 - 1 = 69$.

Ответ: наименьшее значение $-1$, наибольшее значение $69$.

г) на луче (-∞; -3]

Вершина параболы ($x_в = -1$) не входит в данный луч. Весь луч $(-\infty; -3]$ находится на убывающем участке функции. Это означает, что чем меньше значение $x$, тем больше значение $y$. Наименьшее значение на этом луче будет достигаться в его крайней правой точке, то есть при $x = -3$.

Наименьшее значение при $x = -3$:

$y_{наим} = y(-3) = 2(-3)^2 + 4(-3) - 1 = 2 \cdot 9 - 12 - 1 = 18 - 12 - 1 = 5$.

Поскольку при $x \to -\infty$ значение функции $y \to +\infty$, наибольшего значения на данном луче не существует.

Ответ: наименьшее значение $5$, наибольшего значения не существует.

24.16 Для функции $y = -x^2 + 2x + 3$ найдите наименьшее и наибольшее значения:

а) на отрезке $[0; 2];

б) на луче $(-\infty; 1];

в) на отрезке $[1; 2];

г) на луче $[2; +\infty).

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции $y = -x^2 + 2x + 3$ на различных промежутках, сначала необходимо исследовать свойства этой функции.

Данная функция является квадратичной, ее график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $-1$ (отрицательный), следовательно, ветви параболы направлены вниз. Это означает, что функция имеет максимальное значение в вершине параболы.

Найдем координаты вершины параболы $(x_в, y_в)$. Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_в = -\frac{b}{2a}$: $x_в = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = -\frac{2}{-2} = 1$.

Ордината вершины (которая является наибольшим значением функции на всей области определения) находится путем подстановки $x_в=1$ в уравнение функции: $y_в = y(1) = -(1)^2 + 2(1) + 3 = -1 + 2 + 3 = 4$.

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(1; 4)$. Функция возрастает на промежутке $(-\infty; 1]$ и убывает на промежутке $[1; +\infty)$.

а) на отрезке [0; 2];

Отрезок $[0; 2]$ содержит абсциссу вершины $x_в = 1$. Следовательно, наибольшее значение на этом отрезке функция принимает в вершине. $y_{наиб} = y(1) = 4$. Наименьшее значение на отрезке достигается на одном из его концов. Вычислим значения функции в точках $x=0$ и $x=2$: $y(0) = -(0)^2 + 2(0) + 3 = 3$. $y(2) = -(2)^2 + 2(2) + 3 = -4 + 4 + 3 = 3$. Наименьшее значение на отрезке равно 3.

Ответ: наименьшее значение $3$, наибольшее значение $4$.

б) на луче $(-\infty; 1]$;

На этом промежутке, который включает вершину в качестве правой границы, функция возрастает. Следовательно, наибольшее значение достигается в точке $x = 1$. $y_{наиб} = y(1) = 4$. Поскольку ветви параболы направлены вниз, при $x \to -\infty$ значение функции $y \to -\infty$. Таким образом, наименьшего значения на этом луче не существует.

Ответ: наименьшее значение не существует, наибольшее значение $4$.

в) на отрезке [1; 2];

На этом промежутке, который начинается в вершине, функция убывает. Наибольшее значение достигается в крайней левой точке отрезка, т.е. при $x = 1$. $y_{наиб} = y(1) = 4$. Наименьшее значение достигается в крайней правой точке отрезка, т.е. при $x = 2$. $y_{наим} = y(2) = -(2)^2 + 2(2) + 3 = -4 + 4 + 3 = 3$.

Ответ: наименьшее значение $3$, наибольшее значение $4$.

г) на луче $[2; +\infty)$.

Этот луч целиком лежит на промежутке убывания функции. Следовательно, наибольшее значение достигается в крайней левой точке луча, т.е. при $x = 2$. $y_{наиб} = y(2) = 3$. Поскольку ветви параболы направлены вниз, при $x \to +\infty$ значение функции $y \to -\infty$. Таким образом, наименьшего значения на этом луче не существует.

Ответ: наименьшее значение не существует, наибольшее значение $3$.

24.17 Для функции $y = 3x^2 - 12x + 1$ найдите наименьшее и наибольшее значения:

а) на отрезке [1; 4];

б) на полуинтервале (1; 4];

в) на отрезке [0; 4];

г) на полуинтервале [0; 4).

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции $y = 3x^2 - 12x + 1$ необходимо исследовать ее поведение. Данная функция является квадратичной, ее график — парабола. Так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=3 > 0$), ветви параболы направлены вверх. Это означает, что в своей вершине функция достигает глобального минимума.

Найдем координаты вершины параболы. Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$. Для нашей функции $a=3$ и $b=-12$. $x_0 = -\frac{-12}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2$.

Найдем ординату вершины, которая и является наименьшим значением функции на всей области определения: $y_{min\_global} = y(x_0) = y(2) = 3(2)^2 - 12(2) + 1 = 3 \cdot 4 - 24 + 1 = 12 - 24 + 1 = -11$.

Теперь рассмотрим каждый заданный промежуток. Для нахождения наименьшего и наибольшего значений на промежутке нужно сравнить значения функции на концах этого промежутка и значение в точке экстремума, если она попадает в этот промежуток.

а) на отрезке [1; 4]

Данный промежуток — это замкнутый отрезок $[1; 4]$. Точка минимума $x_0 = 2$ принадлежит этому отрезку ($1 \le 2 \le 4$). Следовательно, наименьшее значение функции на этом отрезке совпадает со значением в вершине параболы. $y_{наим} = y(2) = -11$.

Чтобы найти наибольшее значение, вычислим значения функции на концах отрезка: $y(1) = 3(1)^2 - 12(1) + 1 = 3 - 12 + 1 = -8$. $y(4) = 3(4)^2 - 12(4) + 1 = 3 \cdot 16 - 48 + 1 = 48 - 48 + 1 = 1$.

Сравнивая значения на концах ($y(1)=-8$ и $y(4)=1$), находим, что наибольшее значение равно 1. $y_{наиб} = 1$.

Ответ: наименьшее значение -11, наибольшее значение 1.

б) на полуинтервале (1; 4]

Промежуток $(1; 4]$ не включает точку $x=1$. Точка минимума $x_0 = 2$ принадлежит этому промежутку ($1 < 2 \le 4$), поэтому наименьшее значение функции здесь также равно -11. $y_{наим} = y(2) = -11$.

Для нахождения наибольшего значения рассмотрим значения на концах. Точка $x=4$ принадлежит промежутку, $y(4)=1$. Точка $x=1$ не принадлежит, но при приближении к ней значение функции стремится к $y(1)=-8$. Так как $1 > -8$, наибольшее значение достигается в точке $x=4$. $y_{наиб} = 1$.

Ответ: наименьшее значение -11, наибольшее значение 1.

в) на отрезке [0; 4]

Промежуток — замкнутый отрезок $[0; 4]$. Точка минимума $x_0 = 2$ принадлежит этому отрезку ($0 \le 2 \le 4$). Следовательно, наименьшее значение функции на этом отрезке равно -11. $y_{наим} = y(2) = -11$.

Найдем наибольшее значение, вычислив значения функции на концах отрезка: $y(0) = 3(0)^2 - 12(0) + 1 = 1$. $y(4) = 3(4)^2 - 12(4) + 1 = 1$.

Наибольшее значение на концах отрезка одинаково и равно 1. $y_{наиб} = 1$.

Ответ: наименьшее значение -11, наибольшее значение 1.

г) на полуинтервале [0; 4)

Промежуток $[0; 4)$ не включает точку $x=4$. Точка минимума $x_0 = 2$ принадлежит этому промежутку ($0 \le 2 < 4$), поэтому наименьшее значение функции равно -11. $y_{наим} = y(2) = -11$.

Для нахождения наибольшего значения рассмотрим значения на концах. Точка $x=0$ принадлежит промежутку, $y(0)=1$. Точка $x=4$ не принадлежит, но при приближении к ней значение функции стремится к $y(4)=1$. Поскольку значение 1 достигается в точке $x=0$, которая входит в данный промежуток, оно и является наибольшим. $y_{наиб} = y(0) = 1$.

Ответ: наименьшее значение -11, наибольшее значение 1.

24.18 Постройте график функции $y = x^2 + 4x - 5$. С помощью графика определите:

а) значение функции при $x = -3; 0; 1$;

б) значения аргумента, если $y = -8; -5; 0$;

в) наименьшее значение функции;

г) промежутки возрастания и убывания функции;

д) значения аргумента, при которых $y > 0, y < 0$.

Для построения графика функции $y = x^2 + 4x - 5$ необходимо проанализировать ее свойства. Это квадратичная функция, графиком которой является парабола.

1. Определим направление ветвей параболы. Коэффициент при $x^2$ равен 1, что больше нуля, следовательно, ветви параболы направлены вверх.

2. Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$ по формулам:
$x_v = -b/(2a) = -4/(2 \cdot 1) = -2$
$y_v = (-2)^2 + 4(-2) - 5 = 4 - 8 - 5 = -9$
Таким образом, вершина параболы находится в точке $(-2, -9)$. Ось симметрии — прямая $x = -2$.

3. Найдем точки пересечения графика с осями координат.
Пересечение с осью OY (когда $x=0$):
$y = 0^2 + 4 \cdot 0 - 5 = -5$. Точка $(0, -5)$.
Пересечение с осью OX (когда $y=0$):
$x^2 + 4x - 5 = 0$
Используя теорему Виета, находим корни: $x_1 = 1$, $x_2 = -5$. Точки $(1, 0)$ и $(-5, 0)$.

4. Найдем несколько дополнительных точек для точности построения.
Возьмем точку $x = -1$. $y = (-1)^2 + 4(-1) - 5 = 1 - 4 - 5 = -8$. Точка $(-1, -8)$.
Симметричная ей относительно оси $x=-2$ точка будет иметь абсциссу $x=-3$ и ту же ординату $y=-8$. Точка $(-3, -8)$.
Симметричная точке $(0, -5)$ будет точка $(-4, -5)$.

Используя полученные точки — вершину $(-2, -9)$, точки пересечения с осями $(1, 0)$, $(-5, 0)$, $(0, -5)$ и дополнительные точки $(-1, -8)$, $(-3, -8)$, $(-4, -5)$, строим график параболы. Далее, с помощью графика, отвечаем на поставленные вопросы.

а) значение функции при $x = -3; 0; 1$
Находим на графике точки с указанными абсциссами и определяем их ординаты.
При $x = -3$, значение функции $y = -8$.
При $x = 0$, значение функции $y = -5$.
При $x = 1$, значение функции $y = 0$.
Ответ: при $x=-3$ $y=-8$; при $x=0$ $y=-5$; при $x=1$ $y=0$.

б) значения аргумента, если $y = -8; -5; 0$
Проводим горизонтальные прямые на уровнях $y = -8$, $y = -5$ и $y = 0$ и находим абсциссы точек пересечения с параболой.
Если $y = -8$, то $x = -3$ или $x = -1$.
Если $y = -5$, то $x = -4$ или $x = 0$.
Если $y = 0$, то $x = -5$ или $x = 1$.
Ответ: $y = -8$ при $x \in \{-3, -1\}$; $y = -5$ при $x \in \{-4, 0\}$; $y = 0$ при $x \in \{-5, 1\}$.

в) наименьшее значение функции
Так как ветви параболы направлены вверх, наименьшее значение функция принимает в своей вершине. Ордината вершины равна -9.
Ответ: наименьшее значение функции равно -9.

г) промежутки возрастания и убывания функции
Функция убывает на части графика слева от вершины и возрастает справа от вершины. Абсцисса вершины $x = -2$.
Функция убывает при $x \in (-\infty, -2]$.
Функция возрастает при $x \in [-2, +\infty)$.
Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty, -2]$ и возрастает на промежутке $[-2, +\infty)$.

д) значения аргумента, при которых $y > 0, y < 0$
$y > 0$ там, где график находится выше оси ОХ. Это происходит левее точки $x = -5$ и правее точки $x = 1$.
$y < 0$ там, где график находится ниже оси ОХ. Это происходит между точками $x = -5$ и $x = 1$.
Ответ: $y > 0$ при $x \in (-\infty, -5) \cup (1, +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (-5, 1)$.

24.19 Постройте график функции $y = -2x^2 + 4x + 6$. С помощью графика определите:

a) значение функции при $x = -2; 0; 3;$

б) значения аргумента, если $y = -10; 6; 0;$

в) наибольшее значение функции;

г) промежутки возрастания и убывания функции;

д) значения аргумента, при которых $y > 0, y < 0.$

Для построения графика функции $y = -2x^2 + 4x + 6$ необходимо выполнить несколько шагов, которые позволят определить его ключевые точки и форму.

1. Определение вида графика.

Функция $y = -2x^2 + 4x + 6$ является квадратичной. Ее график — это парабола. Так как коэффициент при $x^2$ ($a = -2$) отрицательный, ветви параболы направлены вниз.

2. Нахождение вершины параболы.

Координаты вершины $(x_в, y_в)$ вычисляются по формулам:

$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot (-2)} = -\frac{4}{-4} = 1$

Для нахождения $y_в$ подставим $x_в=1$ в уравнение функции:

$y_в = -2(1)^2 + 4(1) + 6 = -2 + 4 + 6 = 8$

Следовательно, вершина параболы находится в точке $(1, 8)$. Прямая $x=1$ является осью симметрии параболы.

3. Нахождение точек пересечения с осями координат.

Пересечение с осью ординат (Oy):

Для этого нужно положить $x=0$:

$y(0) = -2(0)^2 + 4(0) + 6 = 6$.

Точка пересечения с осью Oy — $(0, 6)$.

Пересечение с осью абсцисс (Ox):

Для этого нужно положить $y=0$:

$-2x^2 + 4x + 6 = 0$

Для удобства разделим все уравнение на -2:

$x^2 - 2x - 3 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 2, а их произведение равно -3. Корни: $x_1 = -1$ и $x_2 = 3$.

Точки пересечения с осью Ox — $(-1, 0)$ и $(3, 0)$.

4. Построение графика.

Используя найденные точки: вершину $(1, 8)$, точки пересечения с осями $(0, 6)$, $(-1, 0)$, $(3, 0)$, а также точку $(2, 6)$, симметричную точке $(0, 6)$ относительно оси симметрии $x=1$, строим параболу.

На основе построенного графика и выполненных вычислений ответим на вопросы задачи.

а) значение функции при x = -2; 0; 3;

Находим на графике точки с указанными абсциссами и определяем их ординаты (значения y).
При $x = -2$: $y = -2(-2)^2 + 4(-2) + 6 = -8 - 8 + 6 = -10$.
При $x = 0$: $y = 6$ (точка пересечения с осью Oy).
При $x = 3$: $y = 0$ (точка пересечения с осью Ox).
Ответ: при $x = -2, y = -10$; при $x = 0, y = 6$; при $x = 3, y = 0$.

б) значения аргумента, если y = -10; 6; 0;

Находим на графике точки с указанными ординатами и определяем их абсциссы (значения x).
При $y = -10$: $-2x^2 + 4x + 6 = -10 \Rightarrow -2x^2 + 4x + 16 = 0 \Rightarrow x^2 - 2x - 8 = 0$. Корни: $x_1 = -2, x_2 = 4$.
При $y = 6$: $-2x^2 + 4x + 6 = 6 \Rightarrow -2x^2 + 4x = 0 \Rightarrow -2x(x - 2) = 0$. Корни: $x_1 = 0, x_2 = 2$.
При $y = 0$: это точки пересечения с осью Ox, $x_1 = -1, x_2 = 3$.
Ответ: $y = -10$ при $x = -2$ и $x = 4$; $y = 6$ при $x = 0$ и $x = 2$; $y = 0$ при $x = -1$ и $x = 3$.

в) наибольшее значение функции;

Так как ветви параболы направлены вниз, наибольшее значение функция принимает в своей вершине. Ордината вершины равна 8.
Ответ: $y_{наиб} = 8$.

г) промежутки возрастания и убывания функции;

Функция возрастает на том промежутке, где ее график идет вверх (слева от вершины), и убывает там, где график идет вниз (справа от вершины). Абсцисса вершины $x = 1$.
Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; 1]$ и убывает на промежутке $[1; +\infty)$.

д) значения аргумента, при которых y > 0, y < 0.

Значения $y > 0$ соответствуют той части графика, которая находится выше оси Ox. Это происходит на интервале между корнями.
Значения $y < 0$ соответствуют тем частям графика, которые находятся ниже оси Ox. Это происходит левее первого корня и правее второго.
Ответ: $y > 0$ при $x \in (-1; 3)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty; -1) \cup (3; +\infty)$.