Номер 24.16, страница 145, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 24. Функция у = ах^2 + bx + с, её свойства и график. Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 24.16, страница 145.

Условие.

24.16 Для функции $y = -x^2 + 2x + 3$ найдите наименьшее и наибольшее значения:

а) на отрезке $[0; 2];

б) на луче $(-\infty; 1];

в) на отрезке $[1; 2];

г) на луче $[2; +\infty).

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции $y = -x^2 + 2x + 3$ на различных промежутках, сначала необходимо исследовать свойства этой функции.

Данная функция является квадратичной, ее график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $-1$ (отрицательный), следовательно, ветви параболы направлены вниз. Это означает, что функция имеет максимальное значение в вершине параболы.

Найдем координаты вершины параболы $(x_в, y_в)$. Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_в = -\frac{b}{2a}$: $x_в = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = -\frac{2}{-2} = 1$.

Ордината вершины (которая является наибольшим значением функции на всей области определения) находится путем подстановки $x_в=1$ в уравнение функции: $y_в = y(1) = -(1)^2 + 2(1) + 3 = -1 + 2 + 3 = 4$.

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(1; 4)$. Функция возрастает на промежутке $(-\infty; 1]$ и убывает на промежутке $[1; +\infty)$.

а) на отрезке [0; 2];

Отрезок $[0; 2]$ содержит абсциссу вершины $x_в = 1$. Следовательно, наибольшее значение на этом отрезке функция принимает в вершине. $y_{наиб} = y(1) = 4$. Наименьшее значение на отрезке достигается на одном из его концов. Вычислим значения функции в точках $x=0$ и $x=2$: $y(0) = -(0)^2 + 2(0) + 3 = 3$. $y(2) = -(2)^2 + 2(2) + 3 = -4 + 4 + 3 = 3$. Наименьшее значение на отрезке равно 3.

Ответ: наименьшее значение $3$, наибольшее значение $4$.

б) на луче $(-\infty; 1]$;

На этом промежутке, который включает вершину в качестве правой границы, функция возрастает. Следовательно, наибольшее значение достигается в точке $x = 1$. $y_{наиб} = y(1) = 4$. Поскольку ветви параболы направлены вниз, при $x \to -\infty$ значение функции $y \to -\infty$. Таким образом, наименьшего значения на этом луче не существует.

Ответ: наименьшее значение не существует, наибольшее значение $4$.

в) на отрезке [1; 2];

На этом промежутке, который начинается в вершине, функция убывает. Наибольшее значение достигается в крайней левой точке отрезка, т.е. при $x = 1$. $y_{наиб} = y(1) = 4$. Наименьшее значение достигается в крайней правой точке отрезка, т.е. при $x = 2$. $y_{наим} = y(2) = -(2)^2 + 2(2) + 3 = -4 + 4 + 3 = 3$.

Ответ: наименьшее значение $3$, наибольшее значение $4$.

г) на луче $[2; +\infty)$.

Этот луч целиком лежит на промежутке убывания функции. Следовательно, наибольшее значение достигается в крайней левой точке луча, т.е. при $x = 2$. $y_{наиб} = y(2) = 3$. Поскольку ветви параболы направлены вниз, при $x \to +\infty$ значение функции $y \to -\infty$. Таким образом, наименьшего значения на этом луче не существует.

Ответ: наименьшее значение не существует, наибольшее значение $3$.