Номер 24.14, страница 145, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 24. Функция у = ах^2 + bx + с, её свойства и график. Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 24.14, страница 145.

Условие.

24.14 Найдите значение коэффициента $c$ и постройте график функции $y = -x^2 + 4x + c$, если известно, что наибольшее значение функции равно 2.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Нахождение значения коэффициента c

Дана функция $y = -x^2 + 4x + c$. Это квадратичная функция, графиком которой является парабола. Так как коэффициент при $x^2$ равен -1 (отрицательное число), ветви параболы направлены вниз. Следовательно, свое наибольшее значение функция принимает в вершине параболы.

Координаты вершины параболы $(x_в, y_в)$ для функции вида $y = ax^2 + bx + c$ можно найти по формуле для абсциссы вершины: $x_в = -b / (2a)$

В нашем случае коэффициенты $a = -1$ и $b = 4$. Вычислим абсциссу вершины:
$x_в = -4 / (2 \cdot (-1)) = -4 / (-2) = 2$.

По условию задачи, наибольшее значение функции равно 2. Это значение является ординатой вершины, то есть $y_в = 2$. Таким образом, координаты вершины параболы: $(2; 2)$.

Чтобы найти коэффициент $c$, подставим координаты вершины $(2; 2)$ в уравнение функции:
$y = -x^2 + 4x + c$
$2 = -(2)^2 + 4 \cdot 2 + c$
$2 = -4 + 8 + c$
$2 = 4 + c$
$c = 2 - 4$
$c = -2$

Ответ: $c = -2$.

Построение графика функции

После нахождения $c$ функция принимает вид $y = -x^2 + 4x - 2$. Для построения графика определим его ключевые характеристики и точки.
1. График — парабола, ветви которой направлены вниз.
2. Вершина параболы находится в точке $(2; 2)$.
3. Ось симметрии — вертикальная прямая $x = 2$.

Найдем точки пересечения с осями координат:
- Точка пересечения с осью OY: для этого подставим $x = 0$ в уравнение.
$y(0) = -(0)^2 + 4 \cdot 0 - 2 = -2$.
Получаем точку $(0; -2)$.
- Точки пересечения с осью OX (нули функции): для этого решим уравнение $y = 0$.
$-x^2 + 4x - 2 = 0$
Умножим обе части на -1: $x^2 - 4x + 2 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 16 - 8 = 8$.
Корни уравнения: $x_{1,2} = (4 \pm \sqrt{8}) / 2 = (4 \pm 2\sqrt{2}) / 2 = 2 \pm \sqrt{2}$.
$x_1 = 2 - \sqrt{2} \approx 0.59$
$x_2 = 2 + \sqrt{2} \approx 3.41$
Получаем точки $(2 - \sqrt{2}; 0)$ и $(2 + \sqrt{2}; 0)$.

Найдем несколько дополнительных точек, используя ось симметрии $x=2$:
- Возьмем $x = 1$. $y(1) = -(1)^2 + 4(1) - 2 = -1 + 4 - 2 = 1$. Точка $(1; 1)$.
- Симметричная ей точка относительно оси $x=2$ имеет абсциссу $x = 3$. Ордината будет той же: $y=1$. Точка $(3; 1)$.
- Точка, симметричная точке $(0; -2)$, имеет абсциссу $x = 4$. Ордината будет той же: $y=-2$. Точка $(4; -2)$.

Для построения графика нанесем на координатную плоскость вершину $(2; 2)$, точки пересечения с осями $(0; -2)$, $(2 - \sqrt{2}; 0)$, $(2 + \sqrt{2}; 0)$ и дополнительные точки $(1; 1)$, $(3; 1)$, $(4; -2)$, после чего соединим их плавной линией.

Ответ: График функции $y = -x^2 + 4x - 2$ — это парабола с вершиной в точке $(2; 2)$, ветви которой направлены вниз. Парабола пересекает ось ординат в точке $(0; -2)$ и ось абсцисс в точках $(2 - \sqrt{2}; 0)$ и $(2 + \sqrt{2}; 0)$.