Номер 24.20, страница 146, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 24. Функция у = ах^2 + bx + с, её свойства и график. Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 24.20, страница 146.

Условие.

Исследуйте на монотонность функцию:

24.20 а) $y = (x - 2)^2$;

б) $y = 2x^2 + 1$;

в) $y = -(x + 1)^2$;

г) $y = 4 - 3x^2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) Для исследования функции $y = (x - 2)^2$ на монотонность найдем ее производную. Область определения функции — все действительные числа, так как это многочлен.
Находим производную функции по правилу дифференцирования сложной функции:
$y' = ((x-2)^2)' = 2(x-2) \cdot (x-2)' = 2(x-2) \cdot 1 = 2x - 4$.
Далее найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$y' = 0$
$2x - 4 = 0$
$2x = 4$
$x = 2$.
Критическая точка $x=2$ делит числовую ось на два промежутка: $(-\infty; 2)$ и $(2; +\infty)$. Определим знак производной на каждом из этих промежутков, чтобы найти интервалы монотонности.
Для интервала $(-\infty; 2)$ выберем пробную точку, например, $x=0$. $y'(0) = 2 \cdot 0 - 4 = -4$. Так как $y' < 0$, функция убывает на этом промежутке.
Для интервала $(2; +\infty)$ выберем пробную точку, например, $x=3$. $y'(3) = 2 \cdot 3 - 4 = 2$. Так как $y' > 0$, функция возрастает на этом промежутке.
Поскольку функция непрерывна в точке $x=2$, эту точку можно включить в промежутки монотонности.
Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty, 2]$ и возрастает на промежутке $[2, +\infty)$.

б) Исследуем на монотонность функцию $y = 2x^2 + 1$. Область определения функции — все действительные числа.
Найдем производную функции:
$y' = (2x^2 + 1)' = 2 \cdot 2x + 0 = 4x$.
Найдем критические точки, решив уравнение $y' = 0$:
$4x = 0$
$x = 0$.
Критическая точка $x=0$ делит числовую ось на два промежутка: $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$. Определим знак производной на каждом из них.
При $x \in (-\infty; 0)$ (например, $x=-1$), $y'(-1) = 4(-1) = -4 < 0$, следовательно, функция убывает.
При $x \in (0; +\infty)$ (например, $x=1$), $y'(1) = 4(1) = 4 > 0$, следовательно, функция возрастает.
Включая точку $x=0$ в промежутки, получаем окончательный результат.
Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty, 0]$ и возрастает на промежутке $[0, +\infty)$.

в) Исследуем на монотонность функцию $y = -(x + 1)^2$. Область определения — все действительные числа.
Найдем производную функции:
$y' = (-(x+1)^2)' = -2(x+1) \cdot (x+1)' = -2(x+1) = -2x - 2$.
Найдем критические точки из условия $y' = 0$:
$-2(x+1) = 0$
$x+1 = 0$
$x = -1$.
Критическая точка $x=-1$ делит числовую ось на два промежутка: $(-\infty; -1)$ и $(-1; +\infty)$. Определим знак производной на них.
При $x \in (-\infty; -1)$ (например, $x=-2$), $y'(-2) = -2(-2+1) = -2(-1) = 2 > 0$, следовательно, функция возрастает.
При $x \in (-1; +\infty)$ (например, $x=0$), $y'(0) = -2(0+1) = -2 < 0$, следовательно, функция убывает.
Функция непрерывна в точке $x=-1$, поэтому ее можно включить в промежутки.
Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty, -1]$ и убывает на промежутке $[-1, +\infty)$.

г) Исследуем на монотонность функцию $y = 4 - 3x^2$. Область определения — все действительные числа.
Найдем производную функции:
$y' = (4 - 3x^2)' = 0 - 3 \cdot 2x = -6x$.
Найдем критические точки, решив уравнение $y' = 0$:
$-6x = 0$
$x = 0$.
Критическая точка $x=0$ делит числовую ось на два промежутка: $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$. Определим знак производной на этих промежутках.
При $x \in (-\infty; 0)$ (например, $x=-1$), $y'(-1) = -6(-1) = 6 > 0$, следовательно, функция возрастает.
При $x \in (0; +\infty)$ (например, $x=1$), $y'(1) = -6(1) = -6 < 0$, следовательно, функция убывает.
Включая непрерывную точку $x=0$ в промежутки, получаем результат.
Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty, 0]$ и убывает на промежутке $[0, +\infty)$.