Номер 24.26, страница 146, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 24. Функция у = ах^2 + bx + с, её свойства и график. Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 24.26, страница 146.

Условие.

24.26 Определите число решений системы уравнений:

а) $\begin{cases} y = 2x^2 - 6x + 1, \\ y = 3; \end{cases}$

б) $\begin{cases} y = x^2 - 2x, \\ 2x - 3y = 0; \end{cases}$

в) $\begin{cases} y = -3x^2 + 12x - 5, \\ y = -5; \end{cases}$

г) $\begin{cases} y = -4x^2 + 4x + 2, \\ 3x - 2y = 0. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) Чтобы определить число решений системы, подставим значение $y$ из второго уравнения ($y=3$) в первое уравнение:

$3 = 2x^2 - 6x + 1$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$2x^2 - 6x + 1 - 3 = 0$

$2x^2 - 6x - 2 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2:

$x^2 - 3x - 1 = 0$

Число решений квадратного уравнения определяется знаком его дискриминанта $D = b^2 - 4ac$. В данном случае $a=1$, $b=-3$, $c=-1$.

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 9 + 4 = 13$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня для $x$. Каждому из этих корней соответствует значение $y=3$. Следовательно, система имеет два решения.

Ответ: 2 решения.

б) Выразим переменную $y$ из второго уравнения:

$2x - 3y = 0 \implies 3y = 2x \implies y = \frac{2}{3}x$

Теперь подставим это выражение для $y$ в первое уравнение системы:

$\frac{2}{3}x = x^2 - 2x$

Перенесем все члены в одну сторону:

$x^2 - 2x - \frac{2}{3}x = 0$

$x^2 - \frac{6}{3}x - \frac{2}{3}x = 0$

$x^2 - \frac{8}{3}x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x - \frac{8}{3}) = 0$

Это уравнение имеет два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = \frac{8}{3}$. Для каждого значения $x$ можно найти соответствующее значение $y$. Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: 2 решения.

в) Подставим значение $y=-5$ из второго уравнения в первое:

$-5 = -3x^2 + 12x - 5$

Перенесем все члены в одну сторону:

$-3x^2 + 12x - 5 + 5 = 0$

$-3x^2 + 12x = 0$

Разделим обе части уравнения на -3:

$x^2 - 4x = 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(x - 4) = 0$

Уравнение имеет два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 4$. Каждому значению $x$ соответствует $y=-5$. Следовательно, система имеет два решения.

Ответ: 2 решения.

г) Выразим $y$ из второго уравнения:

$3x - 2y = 0 \implies 2y = 3x \implies y = \frac{3}{2}x$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$\frac{3}{2}x = -4x^2 + 4x + 2$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:

$3x = -8x^2 + 8x + 4$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$8x^2 + 3x - 8x - 4 = 0$

$8x^2 - 5x - 4 = 0$

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$ этого уравнения. Здесь $a=8$, $b=-5$, $c=-4$.

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-4) = 25 + 128 = 153$

Поскольку $D > 0$, квадратное уравнение имеет два различных действительных корня. Каждому значению $x$ соответствует свое значение $y$. Следовательно, система имеет два решения.

Ответ: 2 решения.