Номер 24.33, страница 147, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 24. Функция у = ах^2 + bx + с, её свойства и график. Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 24.33, страница 147.

Условие.

24.33 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = x^2 - 4x + 3$. Сравните:

a) $f(2)$ и $f(2,0137)$;

б) $f(\frac{65}{63})$ и $f(\frac{63}{65})$;

в) $f(1,999)$ и $f(2)$;

г) $f(49,7)$ и $f(49,69)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Для решения задачи проанализируем заданную функцию $y = f(x)$, где $f(x) = x^2 - 4x + 3$.

Это квадратичная функция, графиком которой является парабола. Коэффициент при $x^2$ равен 1, он положителен, следовательно, ветви параболы направлены вверх.

Найдем абсциссу вершины параболы, которая является точкой экстремума функции. Абсцисса вершины $x_в$ вычисляется по формуле $x_в = -\frac{b}{2a}$.

Для данной функции $a = 1$ и $b = -4$.

$x_в = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$.

Поскольку ветви параболы направлены вверх, в точке $x = 2$ функция достигает своего наименьшего значения (минимума). Отсюда следуют свойства монотонности функции:

• На промежутке $(-\infty; 2]$ функция является убывающей. Это значит, что для любых $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, если $x_1 < x_2$, то $f(x_1) > f(x_2)$.
• На промежутке $[2; +\infty)$ функция является возрастающей. Это значит, что для любых $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, если $x_1 < x_2$, то $f(x_1) < f(x_2)$.

Используем эти свойства для сравнения значений функции в каждом пункте.

а) Сравнить $f(2)$ и $f(2,0137)$.

Аргументы для сравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = 2,0137$.

Сравнивая аргументы, получаем: $2 < 2,0137$.

Оба аргумента принадлежат промежутку возрастания функции $[2; +\infty)$.

Поскольку функция на этом промежутке возрастает, то из неравенства $2 < 2,0137$ следует, что $f(2) < f(2,0137)$.

Ответ: $f(2) < f(2,0137)$.

б) Сравнить $f(\frac{65}{63})$ и $f(\frac{63}{65})$.

Аргументы для сравнения: $x_1 = \frac{65}{63}$ и $x_2 = \frac{63}{65}$.

Сравнивая аргументы, заметим, что $\frac{65}{63}$ — неправильная дробь, то есть $\frac{65}{63} > 1$. Дробь $\frac{63}{65}$ — правильная, то есть $\frac{63}{65} < 1$. Следовательно, $\frac{63}{65} < \frac{65}{63}$.

Оба аргумента меньше, чем абсцисса вершины $x_в = 2$ (так как $1\frac{2}{63} < 2$). Значит, оба значения принадлежат промежутку убывания функции $(-\infty; 2]$.

Поскольку функция на этом промежутке убывает, то из неравенства $\frac{63}{65} < \frac{65}{63}$ следует, что $f(\frac{63}{65}) > f(\frac{65}{63})$.

Ответ: $f(\frac{65}{63}) < f(\frac{63}{65})$.

в) Сравнить $f(1,999)$ и $f(2)$.

Аргументы для сравнения: $x_1 = 1,999$ и $x_2 = 2$.

Сравнивая аргументы, получаем: $1,999 < 2$.

Оба аргумента принадлежат промежутку убывания функции $(-\infty; 2]$.

Поскольку функция на этом промежутке убывает, то из неравенства $1,999 < 2$ следует, что $f(1,999) > f(2)$.

Также можно рассуждать, что $x=2$ является точкой минимума, поэтому значение функции в этой точке является наименьшим. Для любого $x \ne 2$, $f(x) > f(2)$.

Ответ: $f(1,999) > f(2)$.

г) Сравнить $f(49,7)$ и $f(49,69)$.

Аргументы для сравнения: $x_1 = 49,7$ и $x_2 = 49,69$.

Сравнивая аргументы, получаем: $49,69 < 49,7$.

Оба аргумента больше, чем абсцисса вершины $x_в = 2$. Значит, оба значения принадлежат промежутку возрастания функции $[2; +\infty)$.

Поскольку функция на этом промежутке возрастает, то из неравенства $49,69 < 49,7$ следует, что $f(49,69) < f(49,7)$.

Ответ: $f(49,7) > f(49,69)$.