Номер 24.35, страница 147, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 24. Функция у = ах^2 + bx + с, её свойства и график. Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 24.35, страница 147.

Условие.

24.35 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = 2x^2 + 4x - 1$. Сравните:

a) $f(\sqrt{2})$ и $f(-1);$

б) $f(-12.473)$ и $f(-12.472);$

в) $f(-1)$ и $f(-\sqrt{5});$

г) $f(\sqrt{2})$ и $f(\sqrt{3}).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Дана функция $f(x) = 2x^2 + 4x - 1$. Это квадратичная функция, график которой — парабола. Поскольку коэффициент при $x^2$ равен 2 (положительное число), ветви параболы направлены вверх. Найдем координату вершины параболы по оси Ox, которая является точкой минимума функции: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot 2} = -1$. В точке $x = -1$ функция достигает своего минимального значения. Исходя из свойств параболы с ветвями вверх, функция $f(x)$ убывает на промежутке $(-\infty; -1]$ и возрастает на промежутке $[-1; +\infty)$. Используем эти свойства для сравнения значений функции в заданных точках.

а) $f(\sqrt{2})$ и $f(-1)$

Точка $x = -1$ является точкой минимума функции. Это означает, что для любого $x \neq -1$, значение $f(x)$ будет больше, чем $f(-1)$. Поскольку $\sqrt{2} \neq -1$, то $f(\sqrt{2}) > f(-1)$. Для проверки можно выполнить прямое вычисление: $f(-1) = 2(-1)^2 + 4(-1) - 1 = 2 - 4 - 1 = -3$. $f(\sqrt{2}) = 2(\sqrt{2})^2 + 4\sqrt{2} - 1 = 2 \cdot 2 + 4\sqrt{2} - 1 = 4 + 4\sqrt{2} - 1 = 3 + 4\sqrt{2}$. Так как $4\sqrt{2} > 0$, то $3 + 4\sqrt{2} > 3$, а $-3 < 0$. Очевидно, что $3 + 4\sqrt{2} > -3$. Следовательно, $f(\sqrt{2}) > f(-1)$.
Ответ: $f(\sqrt{2}) > f(-1)$.

б) $f(-12,473)$ и $f(-12,472)$

Сравним значения аргументов: $-12,473$ и $-12,472$. Очевидно, что $-12,473 < -12,472$. Обе точки $(-12,473$ и $-12,472)$ принадлежат промежутку убывания функции $(-\infty; -1]$, так как оба числа меньше $-1$. На промежутке убывания, если $x_1 < x_2$, то $f(x_1) > f(x_2)$. Поскольку $-12,473 < -12,472$, то $f(-12,473) > f(-12,472)$.
Ответ: $f(-12,473) > f(-12,472)$.

в) $f(-1)$ и $f(-\sqrt{5})$

Как было установлено, $x = -1$ — точка минимума функции. Сравним аргументы: $-1$ и $-\sqrt{5}$. Так как $5 > 1$, то $\sqrt{5} > \sqrt{1} = 1$, и $-\sqrt{5} < -1$. Поскольку $-\sqrt{5} \neq -1$, значение функции в точке $x = -\sqrt{5}$ будет больше, чем в точке минимума $x = -1$. Следовательно, $f(-\sqrt{5}) > f(-1)$. Проверим вычислением: $f(-1) = -3$. $f(-\sqrt{5}) = 2(-\sqrt{5})^2 + 4(-\sqrt{5}) - 1 = 2 \cdot 5 - 4\sqrt{5} - 1 = 10 - 4\sqrt{5} - 1 = 9 - 4\sqrt{5}$. Сравним $9 - 4\sqrt{5}$ и $-3$. Это эквивалентно сравнению $12$ и $4\sqrt{5}$, или $3$ и $\sqrt{5}$. Так как $3^2=9$ и $(\sqrt{5})^2=5$, то $9>5$, значит $3 > \sqrt{5}$. Следовательно, $12 > 4\sqrt{5}$ и $9 - 4\sqrt{5} > -3$. Таким образом, $f(-\sqrt{5}) > f(-1)$.
Ответ: $f(-1) < f(-\sqrt{5})$.

г) $f(\sqrt{2})$ и $f(\sqrt{3})$

Сравним значения аргументов: $\sqrt{2}$ и $\sqrt{3}$. Так как $2 < 3$, то $\sqrt{2} < \sqrt{3}$. Обе точки ($\sqrt{2}$ и $\sqrt{3}$) принадлежат промежутку возрастания функции $[-1; +\infty)$, так как оба числа больше $-1$. На промежутке возрастания, если $x_1 < x_2$, то $f(x_1) < f(x_2)$. Поскольку $\sqrt{2} < \sqrt{3}$, то $f(\sqrt{2}) < f(\sqrt{3})$.
Ответ: $f(\sqrt{2}) < f(\sqrt{3})$.