Номер 24.40, страница 148, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 24. Функция у = ах^2 + bx + с, её свойства и график. Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 24.40, страница 148.

Условие.

24.40 Определите число решений системы уравнений:

a) $\begin{cases} y = -x^2 + 6x - 4, \\ 2x - y + 3 = 0; \end{cases}$

б) $\begin{cases} y = 3x^2 - 6x - 4, \\ y - 2x - 4 = 0; \end{cases}$

в) $\begin{cases} y = -x^2 - 2x + 4, \\ x - 2y = 0; \end{cases}$

г) $\begin{cases} y = 2x^2 + 8x + 6, \\ 3x - 2y + 1 = 0. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Для определения числа решений каждой системы уравнений используется метод подстановки. Мы выражаем переменную $y$ из линейного уравнения и подставляем ее в квадратное уравнение. В результате получается квадратное уравнение относительно переменной $x$ вида $ax^2 + bx + c = 0$. Количество решений исходной системы совпадает с количеством действительных корней этого квадратного уравнения, которое определяется знаком его дискриминанта $D = b^2 - 4ac$.

• Если $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня, и система имеет два решения.
• Если $D = 0$, уравнение имеет один действительный корень, и система имеет одно решение.
• Если $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней, и система не имеет решений.

а)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} y = -x^2 + 6x - 4, \\ 2x - y + 3 = 0; \end{cases} $
Из второго уравнения выразим $y$:
$2x - y + 3 = 0 \implies y = 2x + 3$.
Теперь подставим это выражение в первое уравнение:
$2x + 3 = -x^2 + 6x - 4$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$x^2 + 2x - 6x + 3 + 4 = 0$
$x^2 - 4x + 7 = 0$
Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$, где $a = 1$, $b = -4$, $c = 7$:
$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 16 - 28 = -12$.
Так как $D < 0$, квадратное уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, система уравнений не имеет решений.
Ответ: 0 решений.

б)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} y = 3x^2 - 6x - 4, \\ y - 2x - 4 = 0; \end{cases} $
Выразим $y$ из второго уравнения:
$y - 2x - 4 = 0 \implies y = 2x + 4$.
Подставим это выражение в первое уравнение:
$2x + 4 = 3x^2 - 6x - 4$
Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:
$3x^2 - 6x - 2x - 4 - 4 = 0$
$3x^2 - 8x - 8 = 0$
Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$, где $a = 3$, $b = -8$, $c = -8$:
$D = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 64 + 96 = 160$.
Так как $D > 0$, квадратное уравнение имеет два различных действительных корня. Это означает, что система уравнений имеет два решения.
Ответ: 2 решения.

в)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} y = -x^2 - 2x + 4, \\ x - 2y = 0; \end{cases} $
Из второго уравнения выразим $y$ через $x$:
$x - 2y = 0 \implies 2y = x \implies y = \frac{x}{2}$.
Подставим это выражение для $y$ в первое уравнение:
$\frac{x}{2} = -x^2 - 2x + 4$
Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:
$x = -2x^2 - 4x + 8$
Перенесем все члены в левую часть:
$2x^2 + x + 4x - 8 = 0$
$2x^2 + 5x - 8 = 0$
Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$, где $a = 2$, $b = 5$, $c = -8$:
$D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-8) = 25 + 64 = 89$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня, следовательно, система имеет два решения.
Ответ: 2 решения.

г)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} y = 2x^2 + 8x + 6, \\ 3x - 2y + 1 = 0. \end{cases} $
Из второго уравнения выразим $y$:
$3x - 2y + 1 = 0 \implies 2y = 3x + 1 \implies y = \frac{3x + 1}{2}$.
Подставим это выражение в первое уравнение:
$\frac{3x + 1}{2} = 2x^2 + 8x + 6$
Умножим обе части на 2:
$3x + 1 = 4x^2 + 16x + 12$
Приведем уравнение к стандартному виду:
$4x^2 + 16x - 3x + 12 - 1 = 0$
$4x^2 + 13x + 11 = 0$
Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$, где $a = 4$, $b = 13$, $c = 11$:
$D = 13^2 - 4 \cdot 4 \cdot 11 = 169 - 176 = -7$.
Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, система не имеет решений.
Ответ: 0 решений.