Номер 24.45, страница 148, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 24. Функция у = ах^2 + bx + с, её свойства и график. Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 24.45, страница 148.

Условие.

24.45 $y = \begin{cases} -\frac{1}{x}, & \text{если } x \le -1; \\ x^2, & \text{если } -1 < x \le 1; \\ |x + 2|, & \text{если } 1 < x \le 5. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Для построения графика кусочно-заданной функции проанализируем каждый ее участок отдельно.

1. Участок $y = -\frac{1}{x}$ при $x \le -1$

На этом промежутке график функции является частью гиперболы $y = -\frac{1}{x}$.

Найдем значение на правой границе промежутка, в точке $x = -1$:

$y(-1) = -\frac{1}{-1} = 1$.

Точка $(-1, 1)$ принадлежит графику и является его конечной точкой с правой стороны. Так как неравенство нестрогое ($x \le -1$), точка будет закрашенной.

При $x \to -\infty$, значение $y = -\frac{1}{x} \to 0$. Следовательно, ось $Ox$ является горизонтальной асимптотой для этой части графика слева. Все значения $y$ на этом интервале положительны и лежат в промежутке $(0, 1]$.

2. Участок $y = x^2$ при $-1 < x \le 1$

На этом промежутке график функции является частью параболы $y = x^2$. Вершина параболы находится в точке $(0, 0)$, которая входит в данный интервал.

Найдем значения на границах промежутка:

• При $x \to -1$ (справа), $y \to (-1)^2 = 1$. Так как неравенство строгое ($x > -1$), точка $(-1, 1)$ на этой части графика будет выколотой.
• При $x = 1$, $y = 1^2 = 1$. Так как неравенство нестрогое ($x \le 1$), точка $(1, 1)$ будет закрашенной.

На данном промежутке функция убывает на $(-1, 0]$ и возрастает на $[0, 1]$. Область значений на этом участке: $[0, 1]$.

3. Участок $y = |x+2|$ при $1 < x \le 5$

На этом промежутке $x > 1$, следовательно, выражение под знаком модуля $x+2$ всегда будет положительным ($x+2 > 1+2 = 3 > 0$). Таким образом, модуль можно раскрыть, и функция принимает вид $y = x+2$.

Графиком является отрезок прямой. Найдем координаты его концов:

• При $x \to 1$ (справа), $y \to 1+2 = 3$. Так как неравенство строгое ($x > 1$), точка $(1, 3)$ будет выколотой.
• При $x=5$, $y = 5+2 = 7$. Так как неравенство нестрогое ($x \le 5$), точка $(5, 7)$ будет закрашенной.

На данном промежутке функция линейно возрастает. Область значений на этом участке: $(3, 7]$.

Исследование непрерывности

Проверим поведение функции в точках "стыка" промежутков.

• В точке $x = -1$:
  Значение функции, определенное первым правилом: $y(-1) = 1$.
  Предел справа (по второму правилу): $\lim_{x \to -1^+} x^2 = (-1)^2 = 1$.
  Поскольку значение функции в точке совпадает с пределом справа, а точка $(-1,1)$ является конечной для первого участка, функция непрерывна в точке $x = -1$.
• В точке $x = 1$:
  Значение функции, определенное вторым правилом: $y(1) = 1^2 = 1$.
  Предел справа (по третьему правилу): $\lim_{x \to 1^+} (x+2) = 1+2=3$.
  Поскольку значение функции в точке ($1$) не равно пределу справа ($3$), функция имеет разрыв первого рода (скачок) в точке $x = 1$.

Область определения функции

Область определения $D(y)$ является объединением всех промежутков, на которых задана функция:

$D(y) = (-\infty, -1] \cup (-1, 1] \cup (1, 5] = (-\infty, 5]$.

Ответ: $D(y) = (-\infty, 5]$.

Область значений функции

Область значений $E(y)$ является объединением всех значений, которые функция принимает на своей области определения.

• На $(-\infty, -1]$: $y \in (0, 1]$.
• На $(-1, 1]$: $y \in [0, 1]$.
• На $(1, 5]$: $y \in (3, 7]$.

Объединяя эти множества, получаем: $E(y) = ([0, 1] \cup (0, 1]) \cup (3, 7] = [0, 1] \cup (3, 7]$.

Ответ: $E(y) = [0, 1] \cup (3, 7]$.

Описание итогового графика

Итоговый график состоит из трех частей.
1. Ветвь гиперболы из точки $(-1, 1)$, которая идет влево и вверх, асимптотически приближаясь к оси $Ox$.
2. Участок параболы от точки $(-1, 1)$ до точки $(1, 1)$ с вершиной в $(0, 0)$.
3. Отрезок прямой от точки $(1, 3)$ до точки $(5, 7)$.
В точке $x=-1$ график непрерывен. В точке $x=1$ происходит скачок: график заканчивается в точке $(1, 1)$ и продолжается с выколотой точки $(1, 3)$.