Номер 24.43, страница 148, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 24. Функция у = ах^2 + bx + с, её свойства и график. Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 24.43, страница 148.

Условие.

24.43 $y = \begin{cases} 2x^2 + 4x + 1, \text{ если } x \le 1; \\ -3(x - 2)^2, \text{ если } 1 < x \le 3. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Для построения графика заданной кусочной функции необходимо проанализировать каждую ее часть на заданном промежутке.

1. Рассмотрим функцию $y = 2x^2 + 4x + 1$ на промежутке $x \le 1$.

Графиком этой функции является парабола. Коэффициент при $x^2$ равен 2, что больше нуля ($a=2 > 0$), следовательно, ветви параболы направлены вверх.
Найдем координаты вершины параболы по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$:
$x_v = -\frac{4}{2 \cdot 2} = -1$.
Поскольку $x_v = -1$ удовлетворяет условию $x \le 1$, вершина параболы является частью графика функции.
Найдем ординату вершины, подставив $x_v = -1$ в уравнение функции:
$y_v = 2(-1)^2 + 4(-1) + 1 = 2 - 4 + 1 = -1$.
Координаты вершины: $(-1, -1)$. Это точка минимума для данной параболы.
Найдем значение функции на границе промежутка, то есть при $x = 1$:
$y(1) = 2(1)^2 + 4(1) + 1 = 2 + 4 + 1 = 7$.
Таким образом, точка $(1, 7)$ является конечной точкой этого участка графика (точка закрашенная).
Для более точного построения найдем еще несколько контрольных точек:
При $x=0$: $y(0) = 2(0)^2 + 4(0) + 1 = 1$. Точка $(0, 1)$.
При $x=-2$: $y(-2) = 2(-2)^2 + 4(-2) + 1 = 8 - 8 + 1 = 1$. Точка $(-2, 1)$.

2. Рассмотрим функцию $y = -3(x - 2)^2$ на промежутке $1 < x \le 3$.

Графиком этой функции также является парабола. Коэффициент $a=-3$ меньше нуля, поэтому ее ветви направлены вниз.
Уравнение представлено в виде $y=a(x-x_v)^2 + y_v$, из которого сразу видны координаты вершины: $(2, 0)$.
Поскольку $x_v = 2$ удовлетворяет условию $1 < x \le 3$, вершина параболы является частью графика функции.
Координаты вершины: $(2, 0)$. Это точка максимума для данной параболы.
Найдем значения функции на границах промежутка.
На правой границе, при $x=3$ (включительно):
$y(3) = -3(3 - 2)^2 = -3(1)^2 = -3$.
Точка $(3, -3)$ является конечной точкой этого участка графика (точка закрашенная).
На левой границе, в точке $x=1$ (не включительно):
$y(1) = -3(1 - 2)^2 = -3(-1)^2 = -3$.
Поскольку $x>1$, точка $(1, -3)$ не принадлежит графику, она изображается как выколотая (пустой кружок).

Итоговый график:

Объединяя результаты, получаем график, состоящий из двух частей:
1. Часть параболы $y = 2x^2 + 4x + 1$ с вершиной в точке $(-1, -1)$, которая определена для всех $x \le 1$ и заканчивается в точке $(1, 7)$.
2. Часть параболы $y = -3(x - 2)^2$ с вершиной в точке $(2, 0)$, которая определена для $1 < x \le 3$, начинается в выколотой точке $(1, -3)$ и заканчивается в точке $(3, -3)$.
В точке $x=1$ функция терпит разрыв.

Ответ: Решением является построение графика функции, состоящего из двух сегментов парабол. Первый сегмент — это часть параболы $y = 2x^2 + 4x + 1$ для $x \le 1$, с вершиной в точке $(-1, -1)$ и конечной точкой $(1, 7)$. Второй сегмент — это часть параболы $y = -3(x-2)^2$ для $1 < x \le 3$, с вершиной в точке $(2, 0)$, выколотой начальной точкой $(1, -3)$ и конечной точкой $(3, -3)$.