Номер 24.46, страница 149, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 24. Функция у = ах^2 + bx + с, её свойства и график. Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 24.46, страница 149.

Условие.

24.46 $y = \begin{cases} -\frac{2}{x}, \text{ если } x < -1; \\ 4 - 3x^2, \text{ если } -1 \leq x \leq 1; \\ |x - 2|, \text{ если } x > 1. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Поскольку в задании дана только функция, стандартной задачей для такого типа упражнений является построение графика и исследование свойств функции, например, нахождение числа решений уравнения $y=m$. Выполним эти два пункта.

1. Построение графика функции

Для построения графика заданной кусочной функции $y = \begin{cases} -\frac{2}{x}, & \text{если } x < -1 \\ 4 - 3x^2, & \text{если } -1 \le x \le 1 \\ |x - 2|, & \text{если } x > 1 \end{cases}$ рассмотрим каждый ее участок отдельно.

На промежутке $x < -1$ функция задана формулой $y = -\frac{2}{x}$.
Это ветвь гиперболы, расположенная во второй координатной четверти. График асимптотически приближается к оси абсцисс ($y=0$) при $x \to -\infty$. Найдем значение на границе интервала, чтобы определить, куда "подходит" кривая. При $x \to -1^-$, значение $y \to -\frac{2}{-1} = 2$. Так как неравенство строгое ($x < -1$), точка $(-1; 2)$ на графике будет выколотой (пустой). Для построения возьмем еще одну контрольную точку, например, $x=-2$, тогда $y = -\frac{2}{-2} = 1$.

На отрезке $-1 \le x \le 1$ функция задана формулой $y = 4 - 3x^2$.
Это парабола с ветвями, направленными вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицательный. Вершина параболы находится в точке с абсциссой $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot (-3)} = 0$. Ордината вершины $y_v = 4 - 3 \cdot 0^2 = 4$. Таким образом, вершина параболы — точка $(0; 4)$. Найдем значения функции на концах отрезка:
при $x = -1$, $y = 4 - 3(-1)^2 = 4 - 3 = 1$. Точка $(-1; 1)$ принадлежит графику.
при $x = 1$, $y = 4 - 3(1)^2 = 4 - 3 = 1$. Точка $(1; 1)$ также принадлежит графику.
На данном участке график представляет собой дугу параболы с вершиной в $(0; 4)$ и концами в точках $(-1; 1)$ и $(1; 1)$.

На промежутке $x > 1$ функция задана формулой $y = |x - 2|$.
График этой функции имеет V-образную форму («уголок») с вершиной в точке, где выражение под модулем равно нулю: $x-2=0 \implies x=2$. Вершина находится в точке $(2; |2-2|) = (2; 0)$.
На границе промежутка при $x \to 1^+$, имеем $y \to |1 - 2| = |-1| = 1$. Точка $(1; 1)$ является начальной для этого участка, но она выколота. Однако, так как на предыдущем участке в точке $(1; 1)$ была закрашенная точка, функция является непрерывной в точке $x=1$.
Для $x>1$ график состоит из двух лучей:
- луч прямой $y = -(x-2) = 2-x$ на интервале $(1; 2]$, идущий из точки $(1; 1)$ в точку $(2; 0)$.
- луч прямой $y = x-2$ на интервале $[2; +\infty)$, идущий из точки $(2; 0)$ вверх, например, через точку $(3; 1)$.

Итоги построения.
Объединив все части, получаем график функции.
В точке $x=-1$ функция имеет разрыв первого рода (скачок), так как предел слева $\lim_{x\to-1^-} y(x) = 2$, а значение функции в точке $y(-1)=1$.
В точке $x=1$ функция непрерывна, так как значение функции и пределы слева и справа равны 1.

Ответ: График функции построен. Он состоит из ветви гиперболы на $(-\infty; -1)$, участка параболы на $[-1; 1]$ и двух лучей, образующих график модуля, на $(1; \infty)$. Функция имеет разрыв в точке $x=-1$ и непрерывна во всех остальных точках области определения.

2. Определение значений $m$, при которых прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки

Проанализируем количество точек пересечения горизонтальной прямой $y=m$ с построенным графиком, мысленно перемещая эту прямую вдоль оси ординат снизу вверх.
- При $m < 0$: прямая не пересекает график. 0 точек.
- При $m = 0$: прямая касается графика в вершине модуля в точке $(2; 0)$. 1 точка пересечения.
- При $0 < m < 1$: прямая пересекает ветвь гиперболы (1 точка) и "уголок" модуля (2 точки). Всего $1+2=3$ точки.
- При $m = 1$: прямая пересекает гиперболу ($x=-2$), параболу в двух точках ($x=\pm 1$) и график модуля ($x=3$). Всего 4 точки.
- При $1 < m < 2$: прямая пересекает гиперболу (1 точка), параболу (2 точки) и график модуля (1 точка). Всего $1+2+1=4$ точки.
- При $m = 2$: прямая проходит через выколотую точку $(-1; 2)$, поэтому пересечения с гиперболой нет. Пересекает параболу в двух точках ($x = \pm\sqrt{2/3}$) и график модуля в одной точке ($x=4$). Всего $0+2+1=3$ точки.
- При $2 < m < 4$: прямая не пересекает гиперболу, но пересекает параболу (2 точки) и график модуля (1 точка). Всего $0+2+1=3$ точки.
- При $m = 4$: прямая касается вершины параболы в точке $(0; 4)$ и пересекает график модуля в точке $(6; 4)$. Всего $1+1=2$ точки.
- При $m > 4$: прямая пересекает только график модуля в одной точке. 1 точка.
Из проведенного анализа следует, что прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки только при одном значении $m$.

Ответ: $m = 4$.