Номер 24.41, страница 148, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 24. Функция у = ах^2 + bx + с, её свойства и график. Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 24.41, страница 148.

Условие.

Постройте и прочитайте график функции:

24.41 $y = \begin{cases} 2x^2 + 4x - 1, & \text{если } -2 \le x \le 0; \\ x - 1, & \text{если } x > 0. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Постройте график функции

Данная функция является кусочно-заданной. Для построения ее графика необходимо рассмотреть каждый участок отдельно.

1. На отрезке $x \in [-2, 0]$ функция задается формулой $y = 2x^2 + 4x - 1$. Графиком этой функции является часть параболы.

• Коэффициент при $x^2$ равен $2$, он положителен, следовательно, ветви параболы направлены вверх.
• Найдем координаты вершины параболы. Абсцисса вершины: $x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot 2} = -1$. Значение $x_в = -1$ принадлежит отрезку $[-2, 0]$.
• Ордината вершины: $y_в = 2(-1)^2 + 4(-1) - 1 = 2 - 4 - 1 = -3$. Таким образом, вершина параболы находится в точке $(-1, -3)$.
• Найдем значения функции на концах отрезка:
  • При $x = -2$: $y = 2(-2)^2 + 4(-2) - 1 = 8 - 8 - 1 = -1$. Точка $(-2, -1)$.
  • При $x = 0$: $y = 2(0)^2 + 4(0) - 1 = -1$. Точка $(0, -1)$.

Итак, первая часть графика — это дуга параболы, соединяющая точки $(-2, -1)$ и $(0, -1)$, с вершиной в точке $(-1, -3)$.

2. На промежутке $x > 0$ функция задается формулой $y = x - 1$. Графиком этой функции является луч.

• Это линейная функция. Для построения луча достаточно найти две точки.
• Найдем начальную точку луча. Так как неравенство $x > 0$ строгое, точка с абсциссой $x=0$ не принадлежит этой части графика (она является "выколотой"). Ее координаты: $y = 0 - 1 = -1$. Точка $(0, -1)$.
• Возьмем любую другую точку из промежутка, например, $x = 2$: $y = 2 - 1 = 1$. Точка $(2, 1)$.

Следовательно, вторая часть графика — это луч, который начинается в выколотой точке $(0, -1)$ и проходит через точку $(2, 1)$.

3. Совместим обе части на одной координатной плоскости. Конечная точка параболы $(0, -1)$ является закрашенной, а начальная точка луча $(0, -1)$ — выколотой. При наложении они образуют одну сплошную точку. Это означает, что функция непрерывна в точке $x=0$.

Ответ: График функции состоит из двух частей: дуги параболы $y = 2x^2 + 4x - 1$ на отрезке $[-2, 0]$, имеющей вершину в точке $(-1, -3)$ и проходящей через точки $(-2, -1)$ и $(0, -1)$, и луча $y = x - 1$, выходящего из точки $(0, -1)$ и проходящего через точку $(2, 1)$ для всех $x > 0$.

Прочитайте график функции

На основании построенного графика перечислим основные свойства функции:

• Область определения: объединение промежутков $[-2, 0]$ и $(0, +\infty)$ дает $D(y) = [-2, +\infty)$.
• Область значений: наименьшее значение функции равно $-3$. Функция не ограничена сверху. Следовательно, $E(y) = [-3, +\infty)$.
• Нули функции: $y = 0$ при $x-1=0$, откуда $x=1$. Точка пересечения с осью Ox: $(1, 0)$.
• Промежутки знакопостоянства:
  • $y > 0$ (график выше оси Ox) при $x \in (1, +\infty)$.
  • $y < 0$ (график ниже оси Ox) при $x \in [-2, 1)$.
• Промежутки монотонности:
  • Функция убывает на промежутке $[-2, -1]$.
  • Функция возрастает на промежутке $[-1, +\infty)$.
• Экстремумы: в точке $x = -1$ убывание сменяется возрастанием, следовательно, это точка минимума. $x_{min} = -1$, $y_{min} = -3$. Это глобальный (наименьший) минимум функции. В точке $x=-2$ достигается локальный максимум, $y(-2) = -1$.
• Четность/нечетность: область определения $D(y) = [-2, +\infty)$ несимметрична относительно нуля, поэтому функция является функцией общего вида (ни четной, ни нечетной).
• Непрерывность: функция непрерывна на всей своей области определения.

Ответ: Свойства функции, определенные по ее графику, подробно изложены в пунктах выше.