Номер 24.42, страница 148, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 24. Функция у = ах^2 + bx + с, её свойства и график. Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 24.42, страница 148.

Условие.

24.42 $y = \begin{cases} x + 1, \text{ если } x < 0; \\ -x^2 + 2x + 3, \text{ если } x \ge 0. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Поскольку в задании на изображении приведена только формула функции, будем решать наиболее типичную задачу для такого случая: построить график данной функции и определить, при каких значениях параметра $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

1. Построение графика функции

Функция $y$ задана кусочно. Построим её график, рассмотрев два случая, определённых областью задания $x$.

Случай 1: $x < 0$.
Функция задаётся формулой $y = x+1$. Это линейная функция, её график – часть прямой (луч). Для построения луча найдем координаты двух точек.
• При $x = -1$, $y = -1+1=0$. Точка $(-1, 0)$.
• При $x = -2$, $y = -2+1=-1$. Точка $(-2, -1)$.
На границе области ($x=0$) функция не определена, но мы можем найти предельную точку. При $x \to 0^-$, $y \to 1$. Точка $(0, 1)$ является концом луча и изображается на графике выколотым (пустым) кружком.

Случай 2: $x \ge 0$.
Функция задаётся формулой $y = -x^2+2x+3$. Это квадратичная функция. Её график – часть параболы, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицателен ($-1$).
Координаты вершины параболы:
$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = 1$.
$y_в = -(1)^2 + 2(1) + 3 = -1 + 2 + 3 = 4$.
Вершина параболы – точка $(1, 4)$. Так как $x_в=1 \ge 0$, вершина принадлежит графику.
Найдем еще несколько точек для построения этой части графика:
• При $x=0$, $y = -0^2+2(0)+3 = 3$. Точка $(0, 3)$ принадлежит графику и является его начальной точкой в этой области.
• Точки пересечения с осью $Ox$ ($y=0$): $-x^2+2x+3=0 \implies x^2-2x-3=0$. По теореме Виета, корни $x_1=3$ и $x_2=-1$. Условию $x \ge 0$ удовлетворяет только $x=3$. Следовательно, график пересекает ось абсцисс в точке $(3, 0)$.

Итоговый график состоит из двух частей: луча, идущего из минус бесконечности и заканчивающегося в выколотой точке $(0,1)$, и части параболы, которая начинается в точке $(0,3)$, имеет вершину в $(1,4)$ и уходит вниз, пересекая ось абсцисс в $(3,0)$.

2. Определение значений m

Теперь найдём, при каких значениях параметра $m$ горизонтальная прямая $y=m$ имеет с построенным графиком ровно две общие точки. Проанализируем количество пересечений, мысленно двигая прямую $y=m$ снизу вверх по оси Oy.
• Если прямая проходит ниже $y=1$ ($m < 1$), она пересекает луч $y=x+1$ (в области $x<0$) в одной точке и параболу $y=-x^2+2x+3$ (в области $x>0$) в одной точке. Итого 2 пересечения.
• Если прямая совпадает с $y=1$ ($m = 1$), она проходит через выколотую точку $(0,1)$ (нет пересечения с лучом) и пересекает параболу в одной точке ($x=1+\sqrt{3}$). Итого 1 пересечение.
• Если прямая находится между $y=1$ и $y=3$ ($1 < m < 3$), она пересекает параболу в одной точке (с $x>0$) и не пересекает луч. Итого 1 пересечение.
• Если прямая совпадает с $y=3$ ($m = 3$), она пересекает параболу в двух точках: $(0,3)$ и $(2,3)$. Итого 2 пересечения.
• Если прямая находится между $y=3$ и $y=4$ ($3 < m < 4$), она пересекает параболу в двух точках (обе с $x>0$). Итого 2 пересечения.
• Если прямая совпадает с $y=4$ ($m = 4$), она касается параболы в вершине $(1,4)$. Итого 1 пересечение.
• Если прямая проходит выше $y=4$ ($m > 4$), она не имеет общих точек с графиком. Итого 0 пересечений.

Таким образом, график функции имеет ровно две общие точки с прямой $y=m$ при $m < 1$ и при $3 \le m < 4$.

Ответ: $m \in (-\infty; 1) \cup [3; 4)$.