Страница 150, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

Решите уравнение двумя способами — графическим и аналитическим:

25.1 а) $x^2 - 2x = 0;$
б) $-x^2 + 6x = 0;$
в) $x^2 + 4x = 0;$
г) $-x^2 - 8x = 0.$

а) $x^2 - 2x = 0$

Графический способ:

Решением уравнения являются абсциссы точек пересечения графика функции $y = x^2 - 2x$ с осью абсцисс (Ox). График данной функции — парабола. Так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1$), ветви параболы направлены вверх.

Найдем координаты вершины параболы $(x_0; y_0)$:

$x_0 = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-2)}{2 \cdot 1} = \frac{2}{2} = 1$

$y_0 = (1)^2 - 2 \cdot 1 = 1 - 2 = -1$

Вершина параболы находится в точке $(1; -1)$.

Найдем точки пересечения параболы с осью Ox, приравняв $y$ к нулю. Построив график, мы видим, что он пересекает ось Ox в точках, абсциссы которых равны 0 и 2. Следовательно, это и есть корни уравнения.

Аналитический способ:

Это неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x - 2) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

$x = 0$ или $x - 2 = 0$

Из второго уравнения находим $x = 2$.

Таким образом, корни уравнения: $x_1 = 0$, $x_2 = 2$.

Ответ: $0; 2$.

б) $-x^2 + 6x = 0$

Графический способ:

Рассмотрим функцию $y = -x^2 + 6x$. Ее график — парабола. Так как коэффициент при $x^2$ отрицателен ($a=-1$), ветви параболы направлены вниз. Корни уравнения — это абсциссы точек пересечения параболы с осью Ox.

Найдем координаты вершины параболы $(x_0; y_0)$:

$x_0 = \frac{-b}{2a} = \frac{-6}{2 \cdot (-1)} = \frac{-6}{-2} = 3$

$y_0 = -(3)^2 + 6 \cdot 3 = -9 + 18 = 9$

Вершина параболы находится в точке $(3; 9)$.

Построив график, мы видим, что он пересекает ось Ox в точках, абсциссы которых равны 0 и 6.

Аналитический способ:

Решим неполное квадратное уравнение $-x^2 + 6x = 0$. Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(-x + 6) = 0$

Приравниваем каждый множитель к нулю:

$x = 0$ или $-x + 6 = 0$

Из второго уравнения находим $x = 6$.

Корни уравнения: $x_1 = 0$, $x_2 = 6$.

Ответ: $0; 6$.

в) $x^2 + 4x = 0$

Графический способ:

Рассмотрим функцию $y = x^2 + 4x$. Это парабола, ветви которой направлены вверх ($a=1 > 0$). Корни уравнения — это абсциссы точек пересечения параболы с осью Ox.

Найдем координаты вершины параболы $(x_0; y_0)$:

$x_0 = \frac{-b}{2a} = \frac{-4}{2 \cdot 1} = -2$

$y_0 = (-2)^2 + 4 \cdot (-2) = 4 - 8 = -4$

Вершина параболы находится в точке $(-2; -4)$.

Построив график, мы видим, что он пересекает ось Ox в точках, абсциссы которых равны -4 и 0.

Аналитический способ:

Решим неполное квадратное уравнение $x^2 + 4x = 0$. Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x + 4) = 0$

Приравниваем каждый множитель к нулю:

$x = 0$ или $x + 4 = 0$

Из второго уравнения находим $x = -4$.

Корни уравнения: $x_1 = -4$, $x_2 = 0$.

Ответ: $-4; 0$.

г) $-x^2 - 8x = 0$

Графический способ:

Рассмотрим функцию $y = -x^2 - 8x$. Это парабола, ветви которой направлены вниз ($a=-1 < 0$). Корни уравнения — это абсциссы точек пересечения параболы с осью Ox.

Найдем координаты вершины параболы $(x_0; y_0)$:

$x_0 = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-8)}{2 \cdot (-1)} = \frac{8}{-2} = -4$

$y_0 = -(-4)^2 - 8 \cdot (-4) = -16 + 32 = 16$

Вершина параболы находится в точке $(-4; 16)$.

Построив график, мы видим, что он пересекает ось Ox в точках, абсциссы которых равны -8 и 0.

Аналитический способ:

Решим неполное квадратное уравнение $-x^2 - 8x = 0$. Умножим обе части на -1:

$x^2 + 8x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x + 8) = 0$

Приравниваем каждый множитель к нулю:

$x = 0$ или $x + 8 = 0$

Из второго уравнения находим $x = -8$.

Корни уравнения: $x_1 = -8$, $x_2 = 0$.

Ответ: $-8; 0$.

25.2 a) $x^2 - 4 = 0;$

б) $-x^2 + 1 = 0;$

в) $x^2 - 9 = 0;$

г) $-x^2 + 16 = 0.$

а) Это неполное квадратное уравнение вида $ax^2 + c = 0$.
Исходное уравнение: $x^2 - 4 = 0$.
Перенесем свободный член в правую часть уравнения:
$x^2 = 4$.
Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Важно помнить, что у положительного числа есть два квадратных корня: положительный и отрицательный.
$x = \pm\sqrt{4}$.
$x_1 = 2$, $x_2 = -2$.
Другой способ решения — использовать формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
$x^2 - 2^2 = 0$
$(x - 2)(x + 2) = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
$x - 2 = 0$ или $x + 2 = 0$.
$x_1 = 2$, $x_2 = -2$.
Ответ: $\pm2$.

б) Исходное уравнение: $-x^2 + 1 = 0$.
Умножим обе части уравнения на $-1$, чтобы избавиться от знака "минус" перед $x^2$.
$x^2 - 1 = 0$.
Перенесем свободный член в правую часть:
$x^2 = 1$.
Извлечем квадратный корень из обеих частей:
$x = \pm\sqrt{1}$.
$x_1 = 1$, $x_2 = -1$.
Или можно было представить исходное уравнение как $1 - x^2 = 0$ и использовать формулу разности квадратов:
$(1 - x)(1 + x) = 0$
$1 - x = 0$ или $1 + x = 0$.
$x_1 = 1$, $x_2 = -1$.
Ответ: $\pm1$.

в) Исходное уравнение: $x^2 - 9 = 0$.
Это также неполное квадратное уравнение. Перенесем $-9$ в правую часть:
$x^2 = 9$.
Извлечем квадратный корень:
$x = \pm\sqrt{9}$.
$x_1 = 3$, $x_2 = -3$.
Используя формулу разности квадратов:
$x^2 - 3^2 = 0$
$(x - 3)(x + 3) = 0$
$x - 3 = 0$ или $x + 3 = 0$.
$x_1 = 3$, $x_2 = -3$.
Ответ: $\pm3$.

г) Исходное уравнение: $-x^2 + 16 = 0$.
Умножим уравнение на $-1$ для удобства:
$x^2 - 16 = 0$.
Перенесем $-16$ в правую часть:
$x^2 = 16$.
Извлечем квадратный корень:
$x = \pm\sqrt{16}$.
$x_1 = 4$, $x_2 = -4$.
Или можно было представить исходное уравнение как $16 - x^2 = 0$ и использовать формулу разности квадратов:
$4^2 - x^2 = 0$
$(4 - x)(4 + x) = 0$
$4 - x = 0$ или $4 + x = 0$.
$x_1 = 4$, $x_2 = -4$.
Ответ: $\pm4$.

25.3 а) $2x^2 - 2 = 0;$

б) $-3x^2 + 6x = 0;$

в) $0,5x^2 - 2 = 0;$

г) $-\frac{1}{3}x^2 - 2x = 0.$

а) Решим неполное квадратное уравнение $2x^2 - 2 = 0$. Это уравнение вида $ax^2+c=0$.

Перенесем свободный член в правую часть уравнения:

$2x^2 = 2$

Разделим обе части уравнения на 2:

$x^2 = \frac{2}{2}$

$x^2 = 1$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$x = \pm\sqrt{1}$

Уравнение имеет два корня: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.

Ответ: $x_1 = 1, x_2 = -1$.

б) Решим неполное квадратное уравнение $-3x^2 + 6x = 0$. Это уравнение вида $ax^2+bx=0$.

Вынесем общий множитель $-3x$ за скобки:

$-3x(x - 2) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда один из множителей равен нулю. Приравняем каждый множитель к нулю:

$-3x = 0$ или $x - 2 = 0$

Из первого уравнения находим $x_1 = 0$.

Из второго уравнения находим $x_2 = 2$.

Ответ: $x_1 = 0, x_2 = 2$.

в) Решим неполное квадратное уравнение $0,5x^2 - 2 = 0$. Это уравнение вида $ax^2+c=0$.

Перенесем свободный член в правую часть уравнения:

$0,5x^2 = 2$

Разделим обе части уравнения на 0,5:

$x^2 = \frac{2}{0,5}$

$x^2 = 4$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$x = \pm\sqrt{4}$

Уравнение имеет два корня: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Ответ: $x_1 = 2, x_2 = -2$.

г) Решим неполное квадратное уравнение $-\frac{1}{3}x^2 - 2x = 0$. Это уравнение вида $ax^2+bx=0$.

Для удобства вычислений умножим все уравнение на -3, чтобы избавиться от дроби и отрицательного знака при старшем коэффициенте:

$-3 \cdot (-\frac{1}{3}x^2 - 2x) = -3 \cdot 0$

$x^2 + 6x = 0$

Теперь вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x + 6) = 0$

Приравняем каждый множитель к нулю:

$x = 0$ или $x + 6 = 0$

Из первого уравнения получаем $x_1 = 0$.

Из второго уравнения получаем $x_2 = -6$.

Ответ: $x_1 = 0, x_2 = -6$.

Решите графически уравнение:

25.4 a) $x^2 + 2x - 3 = 0$;

б) $x^2 - 4x + 3 = 0$;

в) $x^2 + 4x - 5 = 0$;

г) $x^2 - 2x - 3 = 0$.

а) $x^2 + 2x - 3 = 0$

Для графического решения уравнения построим график функции $y = x^2 + 2x - 3$. Это парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1$).

Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$ по формулам:
$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$
$y_v = (-1)^2 + 2(-1) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4$
Таким образом, вершина параболы находится в точке $(-1, -4)$.

Найдем точки пересечения параболы с осями координат. При $x = 0$, $y = 0^2 + 2 \cdot 0 - 3 = -3$. Точка пересечения с осью $Oy$ — $(0, -3)$. Точки пересечения с осью $Ox$ являются корнями уравнения. Построив график, мы находим абсциссы точек, в которых $y=0$.

Для точности построения найдем еще несколько точек. Возьмем $x=1$:
$y(1) = 1^2 + 2 \cdot 1 - 3 = 1 + 2 - 3 = 0$. Точка $(1, 0)$.
Возьмем $x=-3$:
$y(-3) = (-3)^2 + 2(-3) - 3 = 9 - 6 - 3 = 0$. Точка $(-3, 0)$.

График функции $y = x^2 + 2x - 3$ — это парабола, проходящая через точки $(-3, 0)$, $(-1, -4)$ и $(1, 0)$. Она пересекает ось $Ox$ в точках, абсциссы которых равны $-3$ и $1$.

Ответ: $x_1 = -3, x_2 = 1$.

б) $x^2 - 4x + 3 = 0$

Построим график функции $y = x^2 - 4x + 3$. Это парабола с ветвями, направленными вверх ($a=1$).

Найдем координаты вершины параболы:
$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$
$y_v = 2^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$
Вершина параболы находится в точке $(2, -1)$.

Найдем точку пересечения с осью $Oy$: при $x=0$, $y = 3$. Точка $(0, 3)$.
Найдем точки пересечения с осью $Ox$ (нули функции):
При $x=1$, $y = 1^2 - 4(1) + 3 = 1 - 4 + 3 = 0$. Точка $(1, 0)$.
При $x=3$, $y = 3^2 - 4(3) + 3 = 9 - 12 + 3 = 0$. Точка $(3, 0)$.

Парабола $y = x^2 - 4x + 3$ проходит через точки $(1, 0)$, $(2, -1)$ и $(3, 0)$. График пересекает ось $Ox$ в точках, абсциссы которых равны $1$ и $3$.

Ответ: $x_1 = 1, x_2 = 3$.

в) $x^2 + 4x - 5 = 0$

Построим график функции $y = x^2 + 4x - 5$. Это парабола, ветви которой направлены вверх ($a=1$).

Найдем координаты вершины параболы:
$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2$
$y_v = (-2)^2 + 4(-2) - 5 = 4 - 8 - 5 = -9$
Вершина находится в точке $(-2, -9)$.

Найдем точки пересечения параболы с осями. При $x=0$, $y = -5$. Точка пересечения с $Oy$ — $(0, -5)$.
Найдем нули функции:
При $x=1$, $y = 1^2 + 4(1) - 5 = 1 + 4 - 5 = 0$. Точка $(1, 0)$.
При $x=-5$, $y = (-5)^2 + 4(-5) - 5 = 25 - 20 - 5 = 0$. Точка $(-5, 0)$.

График функции $y = x^2 + 4x - 5$ представляет собой параболу, проходящую через точки $(-5, 0)$, $(-2, -9)$ и $(1, 0)$. Парабола пересекает ось $Ox$ в точках с абсциссами $-5$ и $1$.

Ответ: $x_1 = -5, x_2 = 1$.

г) $x^2 - 2x - 3 = 0$

Построим график функции $y = x^2 - 2x - 3$. Это парабола с ветвями, направленными вверх ($a=1$).

Найдем координаты вершины параболы:
$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$
$y_v = 1^2 - 2(1) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4$
Вершина параболы находится в точке $(1, -4)$.

Найдем точки пересечения с осями.
При $x=0$, $y=-3$. Точка пересечения с $Oy$ — $(0, -3)$.
Найдем нули функции:
При $x=-1$, $y = (-1)^2 - 2(-1) - 3 = 1 + 2 - 3 = 0$. Точка $(-1, 0)$.
При $x=3$, $y = 3^2 - 2(3) - 3 = 9 - 6 - 3 = 0$. Точка $(3, 0)$.

Парабола $y = x^2 - 2x - 3$ проходит через точки $(-1, 0)$, $(1, -4)$ и $(3, 0)$. График пересекает ось $Ox$ в точках, абсциссы которых равны $-1$ и $3$.

Ответ: $x_1 = -1, x_2 = 3$.

25.5 a) $x^2 - x - 2 = 0$;

б) $x^2 - 3x - 4 = 0$;

в) $x^2 + 3x + 2 = 0$;

г) $x^2 + x - 6 = 0$.

a) $x^2 - x - 2 = 0$

Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$ с коэффициентами $a=1$, $b=-1$, $c=-2$.

Для нахождения корней воспользуемся формулой через дискриминант. Сначала вычислим дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Корни находятся по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2$.

$x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 3}{2} = \frac{-2}{2} = -1$.

Для проверки можно воспользоваться теоремой Виета. Для приведенного квадратного уравнения $x^2+px+q=0$ сумма корней $x_1+x_2 = -p$, а произведение корней $x_1 \cdot x_2 = q$. В нашем случае $p=-1, q=-2$.

Сумма корней: $2 + (-1) = 1$. По теореме Виета: $-p = -(-1) = 1$. Верно.

Произведение корней: $2 \cdot (-1) = -2$. По теореме Виета: $q = -2$. Верно.

Ответ: $x_1 = 2, x_2 = -1$.

б) $x^2 - 3x - 4 = 0$

Это квадратное уравнение с коэффициентами: $a=1$, $b=-3$, $c=-4$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$.

Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 5}{2} = \frac{8}{2} = 4$.

$x_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 5}{2} = \frac{-2}{2} = -1$.

Проверка по теореме Виета. В уравнении $x^2 - 3x - 4 = 0$ коэффициенты $p=-3, q=-4$.

Сумма корней: $4 + (-1) = 3$. По теореме Виета: $-p = -(-3) = 3$. Верно.

Произведение корней: $4 \cdot (-1) = -4$. По теореме Виета: $q = -4$. Верно.

Ответ: $x_1 = 4, x_2 = -1$.

в) $x^2 + 3x + 2 = 0$

Это квадратное уравнение с коэффициентами: $a=1$, $b=3$, $c=2$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1$.

Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-3 + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 1}{2} = \frac{-2}{2} = -1$.

$x_2 = \frac{-3 - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - 1}{2} = \frac{-4}{2} = -2$.

Проверка по теореме Виета. В уравнении $x^2 + 3x + 2 = 0$ коэффициенты $p=3, q=2$.

Сумма корней: $(-1) + (-2) = -3$. По теореме Виета: $-p = -3$. Верно.

Произведение корней: $(-1) \cdot (-2) = 2$. По теореме Виета: $q = 2$. Верно.

Ответ: $x_1 = -1, x_2 = -2$.

г) $x^2 + x - 6 = 0$

Это квадратное уравнение с коэффициентами: $a=1$, $b=1$, $c=-6$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$.

Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2$.

$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3$.

Проверка по теореме Виета. В уравнении $x^2 + x - 6 = 0$ коэффициенты $p=1, q=-6$.

Сумма корней: $2 + (-3) = -1$. По теореме Виета: $-p = -1$. Верно.

Произведение корней: $2 \cdot (-3) = -6$. По теореме Виета: $q = -6$. Верно.

Ответ: $x_1 = 2, x_2 = -3$.

25.6 a) $-x^2 + 6x - 5 = 0$;

б) $-x^2 - 3x + 4 = 0$;

в) $-x^2 - 6x - 8 = 0$;

г) $-x^2 + x + 6 = 0$.

а) Дано квадратное уравнение $-x^2 + 6x - 5 = 0$. Для удобства решения умножим все члены уравнения на -1, чтобы коэффициент при $x^2$ стал положительным:
$x^2 - 6x + 5 = 0$
Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$ с коэффициентами: $a = 1$, $b = -6$, $c = 5$.
Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16$
Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-6) + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 4}{2} = \frac{10}{2} = 5$
$x_2 = \frac{-(-6) - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{6 - 4}{2} = \frac{2}{2} = 1$
Ответ: $1, 5$.

б) Решим уравнение $-x^2 - 3x + 4 = 0$. Умножим уравнение на -1, чтобы сделать его приведенным:
$x^2 + 3x - 4 = 0$
Коэффициенты уравнения: $a = 1$, $b = 3$, $c = -4$.
Найдем дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$
Так как $D > 0$, есть два действительных корня. Вычислим их по формуле корней квадратного уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 5}{2} = \frac{2}{2} = 1$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - 5}{2} = \frac{-8}{2} = -4$
Ответ: $-4, 1$.

в) Рассмотрим уравнение $-x^2 - 6x - 8 = 0$. Умножим его на -1 для упрощения:
$x^2 + 6x + 8 = 0$
Это квадратное уравнение, где коэффициенты равны $a = 1$, $b = 6$, $c = 8$.
Вычислим дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4$
Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 + 2}{2} = \frac{-4}{2} = -2$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 - 2}{2} = \frac{-8}{2} = -4$
Ответ: $-4, -2$.

г) Решим уравнение $-x^2 + x + 6 = 0$. Умножим все члены на -1:
$x^2 - x - 6 = 0$
Коэффициенты данного уравнения: $a = 1$, $b = -1$, $c = -6$.
Найдем дискриминант $D$ по формуле:
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$
$D > 0$, следовательно, уравнение имеет два действительных корня. Вычислим их, используя формулу корней квадратного уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-1) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 5}{2} = \frac{6}{2} = 3$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-1) - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 5}{2} = \frac{-4}{2} = -2$
Ответ: $-2, 3$.

25.7 а) $x^2 - 5x + 6 = 0;$

б) $-x^2 - x + 6 = 0;$

в) $x^2 - x - 6 = 0;$

г) $-x^2 - 5x - 6 = 0.$

а)

Дано квадратное уравнение $x^2 - 5x + 6 = 0$.

Это уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где коэффициенты равны: $a = 1$, $b = -5$, $c = 6$.

Для решения найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$.

Так как дискриминант $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$x_1 = \frac{-(-5) - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$.

$x_2 = \frac{-(-5) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3$.

Ответ: $x_1 = 2$, $x_2 = 3$.

б)

Дано квадратное уравнение $-x^2 - x + 6 = 0$.

Для удобства умножим все члены уравнения на -1, чтобы коэффициент при $x^2$ стал положительным:

$x^2 + x - 6 = 0$.

Теперь это приведенное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a = 1$, $b = 1$, $c = -6$.

Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$.

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$x_1 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3$.

$x_2 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2$.

Ответ: $x_1 = -3$, $x_2 = 2$.

в)

Дано квадратное уравнение $x^2 - x - 6 = 0$.

Это уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a = 1$, $b = -1$, $c = -6$.

Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$x_1 = \frac{-(-1) - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 5}{2} = \frac{-4}{2} = -2$.

$x_2 = \frac{-(-1) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 5}{2} = \frac{6}{2} = 3$.

Ответ: $x_1 = -2$, $x_2 = 3$.

г)

Дано квадратное уравнение $-x^2 - 5x - 6 = 0$.

Умножим все члены уравнения на -1:

$x^2 + 5x + 6 = 0$.

Теперь это приведенное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a = 1$, $b = 5$, $c = 6$.

Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$.

$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$x_1 = \frac{-5 - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 - 1}{2} = \frac{-6}{2} = -3$.

$x_2 = \frac{-5 + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 + 1}{2} = \frac{-4}{2} = -2$.

Ответ: $x_1 = -3$, $x_2 = -2$.

25.8 Докажите, что уравнение не имеет корней:

а) $3x^2 - 6x + 11 = 0$;

б) $x^2 - 3x + 5 = 0$;

в) $x^2 + 2x + 4 = 0$;

г) $2x^2 + 5x + 9 = 0$.

Для доказательства того, что квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$ не имеет корней, достаточно показать, что его дискриминант отрицателен. Дискриминант вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$. Если $D < 0$, то уравнение не имеет действительных корней.

а) Для уравнения $3x^2 - 6x + 11 = 0$ коэффициенты равны: $a = 3$, $b = -6$, $c = 11$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 11 = 36 - 132 = -96$.

Поскольку $D = -96 < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: доказано.

б) Для уравнения $x^2 - 3x + 5 = 0$ коэффициенты равны: $a = 1$, $b = -3$, $c = 5$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 9 - 20 = -11$.

Поскольку $D = -11 < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: доказано.

в) Для уравнения $x^2 + 2x + 4 = 0$ коэффициенты равны: $a = 1$, $b = 2$, $c = 4$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4 - 16 = -12$.

Поскольку $D = -12 < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: доказано.

г) Для уравнения $2x^2 + 5x + 9 = 0$ коэффициенты равны: $a = 2$, $b = 5$, $c = 9$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 9 = 25 - 72 = -47$.

Поскольку $D = -47 < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: доказано.

25.9 Найдите стороны прямоугольника, если известно, что его площадь равна 8 $\text{см}^2$, а длина на 2 см больше ширины.

Обозначим ширину прямоугольника через $x$ см. Согласно условию задачи, длина на 2 см больше ширины, значит, длина прямоугольника составляет $(x + 2)$ см.

Площадь прямоугольника ($S$) равна произведению его длины и ширины. По условию, $S = 8$ см². Составим уравнение на основе этих данных:

$S = x \cdot (x + 2)$
$x(x + 2) = 8$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 + 2x = 8$
$x^2 + 2x - 8 = 0$

Для решения этого квадратного уравнения найдем его дискриминант ($D$):

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 6}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 6}{2} = \frac{-8}{2} = -4$

Так как ширина прямоугольника является геометрической величиной, она не может быть отрицательной. Поэтому корень $x_2 = -4$ не подходит по смыслу задачи.

Таким образом, ширина прямоугольника равна $x = 2$ см.

Теперь найдем длину прямоугольника:

Длина = $x + 2 = 2 + 2 = 4$ см.

Проверка: площадь $S = 2 \text{ см} \cdot 4 \text{ см} = 8 \text{ см}^2$, что соответствует условию.

Ответ: стороны прямоугольника равны 2 см и 4 см.