Номер 25.2, страница 150, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 25. Графическое решение квадратных уравнений. Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 25.2, страница 150.

Условие.

25.2 a) $x^2 - 4 = 0;$

б) $-x^2 + 1 = 0;$

в) $x^2 - 9 = 0;$

г) $-x^2 + 16 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) Это неполное квадратное уравнение вида $ax^2 + c = 0$.
Исходное уравнение: $x^2 - 4 = 0$.
Перенесем свободный член в правую часть уравнения:
$x^2 = 4$.
Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Важно помнить, что у положительного числа есть два квадратных корня: положительный и отрицательный.
$x = \pm\sqrt{4}$.
$x_1 = 2$, $x_2 = -2$.
Другой способ решения — использовать формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
$x^2 - 2^2 = 0$
$(x - 2)(x + 2) = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
$x - 2 = 0$ или $x + 2 = 0$.
$x_1 = 2$, $x_2 = -2$.
Ответ: $\pm2$.

б) Исходное уравнение: $-x^2 + 1 = 0$.
Умножим обе части уравнения на $-1$, чтобы избавиться от знака "минус" перед $x^2$.
$x^2 - 1 = 0$.
Перенесем свободный член в правую часть:
$x^2 = 1$.
Извлечем квадратный корень из обеих частей:
$x = \pm\sqrt{1}$.
$x_1 = 1$, $x_2 = -1$.
Или можно было представить исходное уравнение как $1 - x^2 = 0$ и использовать формулу разности квадратов:
$(1 - x)(1 + x) = 0$
$1 - x = 0$ или $1 + x = 0$.
$x_1 = 1$, $x_2 = -1$.
Ответ: $\pm1$.

в) Исходное уравнение: $x^2 - 9 = 0$.
Это также неполное квадратное уравнение. Перенесем $-9$ в правую часть:
$x^2 = 9$.
Извлечем квадратный корень:
$x = \pm\sqrt{9}$.
$x_1 = 3$, $x_2 = -3$.
Используя формулу разности квадратов:
$x^2 - 3^2 = 0$
$(x - 3)(x + 3) = 0$
$x - 3 = 0$ или $x + 3 = 0$.
$x_1 = 3$, $x_2 = -3$.
Ответ: $\pm3$.

г) Исходное уравнение: $-x^2 + 16 = 0$.
Умножим уравнение на $-1$ для удобства:
$x^2 - 16 = 0$.
Перенесем $-16$ в правую часть:
$x^2 = 16$.
Извлечем квадратный корень:
$x = \pm\sqrt{16}$.
$x_1 = 4$, $x_2 = -4$.
Или можно было представить исходное уравнение как $16 - x^2 = 0$ и использовать формулу разности квадратов:
$4^2 - x^2 = 0$
$(4 - x)(4 + x) = 0$
$4 - x = 0$ или $4 + x = 0$.
$x_1 = 4$, $x_2 = -4$.
Ответ: $\pm4$.