Страница 155, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

3 Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $y=-2(x-1)^2$ на отрезке $[-1;2]$.

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции $y = -2(x - 1)^2$ на отрезке $[-1; 2]$, необходимо найти значения функции в критических точках, принадлежащих этому отрезку, и на его концах. Затем следует сравнить полученные значения.

1. Нахождение производной и критических точек

Сначала найдем производную функции $y(x)$:

$y' = (-2(x-1)^2)' = -2 \cdot 2(x-1)^{2-1} \cdot (x-1)' = -4(x-1)$.

Далее, приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

$-4(x-1) = 0$

$x - 1 = 0$

$x = 1$

Полученная критическая точка $x=1$ принадлежит заданному отрезку $[-1; 2]$.

2. Вычисление значений функции

Теперь вычислим значения функции в критической точке $x=1$ и на концах отрезка, то есть в точках $x=-1$ и $x=2$.

Значение в критической точке:

$y(1) = -2(1-1)^2 = -2 \cdot 0^2 = 0$.

Значение на левом конце отрезка:

$y(-1) = -2(-1-1)^2 = -2(-2)^2 = -2 \cdot 4 = -8$.

Значение на правом конце отрезка:

$y(2) = -2(2-1)^2 = -2 \cdot 1^2 = -2$.

3. Сравнение значений

Мы получили три значения функции на отрезке: $0$, $-8$ и $-2$. Теперь сравним их, чтобы определить наименьшее и наибольшее.

Наименьшее значение

Сравнивая числа $0$, $-8$ и $-2$, видим, что наименьшим из них является $-8$.

Ответ: $-8$.

Наибольшее значение

Сравнивая числа $0$, $-8$ и $-2$, видим, что наибольшим из них является $0$.

Ответ: $0$.

4 Постройте график функции $y = \frac{4}{x} + 2$.

Для построения графика функции $y = \frac{4}{x} + 2$ необходимо выполнить анализ функции, найти ее ключевые характеристики и точки, а затем изобразить на координатной плоскости.

1. Анализ функции

Функция $y = \frac{4}{x} + 2$ представляет собой гиперболу. Она получена из графика базовой функции $y = \frac{4}{x}$ путем его сдвига (параллельного переноса) на 2 единицы вверх вдоль оси ординат (оси Oy).

Свойства функции:

Область определения: Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x \neq 0$. Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Асимптоты: Асимптоты — это прямые, к которым график функции приближается бесконечно близко. Для данной гиперболы:

- Вертикальная асимптота: $x=0$ (ось Oy), так как при $x \to 0$ значение $y$ стремится к бесконечности.

- Горизонтальная асимптота: $y=2$. Она получается из-за сдвига графика $y = \frac{4}{x}$ (у которого асимптота $y=0$) на 2 единицы вверх.

Расположение ветвей: Поскольку коэффициент $k=4$ положителен, ветви гиперболы находятся в 1-й и 3-й четвертях относительно "нового центра" — точки пересечения асимптот $(0, 2)$.

2. Нахождение координат точек для построения

Чтобы построить график, вычислим координаты нескольких точек, принадлежащих ему. Для удобства составим таблицу значений:

Из таблицы видно, что график пересекает ось Ox в точке $(-2, 0)$, так как при $x=-2$ значение $y=0$. График не пересекает ось Oy, так как $x \neq 0$.

3. Пошаговое построение графика

1. В системе координат OXY проводим пунктирными линиями асимптоты: вертикальную прямую $x=0$ (совпадает с осью Oy) и горизонтальную прямую $y=2$. Эти линии образуют новую систему координат, в которой будет строиться гипербола.

2. Отмечаем точки из таблицы: $(-4, 1)$, $(-2, 0)$, $(-1, -2)$, $(1, 6)$, $(2, 4)$, $(4, 3)$.

3. Через отмеченные точки проводим две плавные кривые (ветви гиперболы). Первая ветвь в верхней правой части (относительно асимптот) проходит через точки $(1, 6)$, $(2, 4)$, $(4, 3)$. Вторая ветвь в левой нижней части проходит через точки $(-4, 1)$, $(-2, 0)$, $(-1, -2)$. Обе ветви неограниченно приближаются к асимптотам, не пересекая их.

Ответ: Графиком функции $y = \frac{4}{x} + 2$ является гипербола. Для ее построения необходимо сначала начертить асимптоты: вертикальную $x=0$ (ось Oy) и горизонтальную $y=2$. Затем, вычислив координаты нескольких точек, таких как $(1, 6)$, $(2, 4)$, $(-1, -2)$ и $(-2, 0)$, отметить их на плоскости и соединить плавными кривыми, которые будут приближаться к асимптотам. Ветви гиперболы располагаются в первой и третьей четвертях относительно точки пересечения асимптот $(0, 2)$.

5 Постройте график функции $y = x^2 - 4x + 7$.

Для построения графика функции $y = x^2 - 4x + 7$ выполним последовательно несколько шагов.

1. Определение общих свойств графика

Функция $y = x^2 - 4x + 7$ является квадратичной вида $y = ax^2 + bx + c$, где $a=1$, $b=-4$, $c=7$. Графиком такой функции является парабола. Так как коэффициент $a = 1 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

2. Нахождение координат вершины параболы

Координаты вершины параболы $(x_в, y_в)$ вычисляются по формулам: $x_в = -\frac{b}{2a}$ и $y_в = y(x_в)$.

Найдем абсциссу вершины:
$x_в = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$.

Теперь найдем ординату вершины, подставив $x_в=2$ в уравнение функции:
$y_в = (2)^2 - 4(2) + 7 = 4 - 8 + 7 = 3$.

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(2, 3)$. Прямая $x=2$ является осью симметрии графика.

3. Нахождение точек пересечения с осями координат

Для нахождения точки пересечения с осью $Oy$ (y-перехват), подставим $x=0$ в уравнение:
$y(0) = 0^2 - 4(0) + 7 = 7$.
Точка пересечения с осью $Oy$ — $(0, 7)$.

Для нахождения точек пересечения с осью $Ox$ (x-перехваты), решим уравнение $y=0$, то есть $x^2 - 4x + 7 = 0$.
Вычислим дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 16 - 28 = -12$.
Поскольку $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что парабола не пересекает ось $Ox$.

4. Составление таблицы значений

Для более точного построения графика найдем несколько точек, используя симметрию относительно оси $x=2$. У нас есть вершина $(2, 3)$ и точка пересечения с $Oy$ $(0, 7)$.
Точка, симметричная $(0, 7)$ относительно прямой $x=2$, имеет координаты $(4, 7)$.
Возьмем еще одну точку, например при $x=1$:
$y(1) = 1^2 - 4(1) + 7 = 1 - 4 + 7 = 4$.
Получаем точку $(1, 4)$. Симметричная ей точка — $(3, 4)$.

Составим таблицу значений:

5. Построение графика

На координатной плоскости отмечаем вершину $(2, 3)$ и другие найденные точки: $(0, 7)$, $(4, 7)$, $(1, 4)$, $(3, 4)$. Затем соединяем эти точки плавной кривой линией, чтобы получить параболу.

Ответ: Графиком функции $y = x^2 - 4x + 7$ является парабола с вершиной в точке $(2, 3)$ и ветвями, направленными вверх. График пересекает ось ординат в точке $(0, 7)$ и не пересекает ось абсцисс.

6 Известно, что $f(x) = -\frac{3}{x}$, а $g(x) = 3x^2$. Докажите, что при $x \neq 0$ $f\left(-\frac{1}{x^6}\right)=g(x^3)$.

Для доказательства тождества $f(-\frac{1}{x^6}) = g(x^3)$ при условии, что $x \neq 0$, необходимо вычислить левую и правую части равенства, используя данные определения функций: $f(x) = -\frac{3}{x}$ и $g(x) = 3x^2$.

1. Преобразуем левую часть равенства.

Найдём значение выражения $f(-\frac{1}{x^6})$. Для этого в определение функции $f(x)$ подставим вместо аргумента $x$ выражение $-\frac{1}{x^6}$:

$f(-\frac{1}{x^6}) = -\frac{3}{-\frac{1}{x^6}}$

Упростим полученное выражение. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:

$f(-\frac{1}{x^6}) = (-3) \cdot (-\frac{x^6}{1}) = 3x^6$

2. Преобразуем правую часть равенства.

Найдём значение выражения $g(x^3)$. Для этого в определение функции $g(x)$ подставим вместо аргумента $x$ выражение $x^3$:

$g(x^3) = 3(x^3)^2$

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получим:

$g(x^3) = 3x^{3 \cdot 2} = 3x^6$

3. Сравним полученные результаты.

В результате преобразований мы получили, что левая и правая части исходного равенства равны одному и тому же выражению:

Левая часть: $f(-\frac{1}{x^6}) = 3x^6$

Правая часть: $g(x^3) = 3x^6$

Поскольку $3x^6 = 3x^6$, исходное равенство $f(-\frac{1}{x^6}) = g(x^3)$ является верным при всех $x \neq 0$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказательство выполнено путем преобразования левой и правой частей равенства. Левая часть: $f(-\frac{1}{x^6}) = -\frac{3}{-\frac{1}{x^6}} = 3x^6$. Правая часть: $g(x^3) = 3(x^3)^2 = 3x^6$. Так как $3x^6 = 3x^6$, равенство доказано.

7 Решите графически систему уравнений $\begin{cases} y = -x^2 + 3, \\ y = -\sqrt{x-1}. \end{cases}$

Для того чтобы решить систему уравнений графически, необходимо построить график каждой функции, входящей в систему, в одной и той же системе координат. Координаты точек пересечения этих графиков и будут решением системы.

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} y = -x^2 + 3 \\ y = -\sqrt{x-1} \end{cases} $$

Графиком данной функции является парабола. Это стандартная парабола $y = -x^2$ (ветви направлены вниз), смещенная на 3 единицы вверх по оси $Oy$. Вершина параболы находится в точке $(0, 3)$.

Для более точного построения найдем несколько точек, принадлежащих графику:

• Если $x = 0$, то $y = -0^2 + 3 = 3$. Точка $(0, 3)$.
• Если $x = 1$, то $y = -1^2 + 3 = 2$. Точка $(1, 2)$.
• Если $x = -1$, то $y = -(-1)^2 + 3 = 2$. Точка $(-1, 2)$.
• Если $x = 2$, то $y = -2^2 + 3 = -4 + 3 = -1$. Точка $(2, -1)$.
• Если $x = -2$, то $y = -(-2)^2 + 3 = -4 + 3 = -1$. Точка $(-2, -1)$.

Графиком данной функции является ветвь параболы. Сначала определим область определения функции: выражение под корнем должно быть неотрицательным, то есть $x-1 \ge 0$, откуда $x \ge 1$.

График функции $y = -\sqrt{x-1}$ получается из графика функции $y = \sqrt{x}$ путем смещения на 1 единицу вправо по оси $Ox$ и последующего симметричного отражения относительно оси $Ox$ (из-за знака "минус" перед корнем).

Найдем несколько точек для построения графика:

• Если $x = 1$, то $y = -\sqrt{1-1} = 0$. Начальная точка графика $(1, 0)$.
• Если $x = 2$, то $y = -\sqrt{2-1} = -\sqrt{1} = -1$. Точка $(2, -1)$.
• Если $x = 5$, то $y = -\sqrt{5-1} = -\sqrt{4} = -2$. Точка $(5, -2)$.

Построим графики функций $y = -x^2 + 3$ и $y = -\sqrt{x-1}$ в одной системе координат. На графике видно, что кривые пересекаются в одной точке.

Из вычислений, проведенных для построения графиков, видно, что точка $(2, -1)$ принадлежит обоим графикам. Следовательно, это и есть точка их пересечения.

Для уверенности выполним проверку, подставив координаты точки $(2, -1)$ в оба уравнения системы:

1. Для первого уравнения $y = -x^2 + 3$:

$-1 = -(2)^2 + 3$

$-1 = -4 + 3$

$-1 = -1$ (верно).

2. Для второго уравнения $y = -\sqrt{x-1}$:

$-1 = -\sqrt{2-1}$

$-1 = -\sqrt{1}$

$-1 = -1$ (верно).

Поскольку координаты точки $(2, -1)$ удовлетворяют обоим уравнениям, данная пара чисел является решением системы.

Ответ: $(2, -1)$.

8 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \begin{cases} |x + 1| - 1, \text{ если } x < 1; \\ 2x^2 - 8x + 7, \text{ если } 1 \leq x \leq 4. \end{cases}$

а) Найдите $f(-3); f(1); f(9)$.

б) Постройте график функции $y = f(x)$.

в) Перечислите свойства функции.

а) Найдите f(-3); f(1); f(9).

Для нахождения значений функции необходимо подставить аргумент $x$ в ту часть формулы, условию которой он удовлетворяет.

- Для $x = -3$. Это значение удовлетворяет условию $x < 1$, поэтому используем первую формулу $f(x) = |x + 1| - 1$.
$f(-3) = |-3 + 1| - 1 = |-2| - 1 = 2 - 1 = 1$.

- Для $x = 1$. Это значение удовлетворяет условию $1 \le x \le 4$, поэтому используем вторую формулу $f(x) = 2x^2 - 8x + 7$.
$f(1) = 2(1)^2 - 8(1) + 7 = 2 - 8 + 7 = 1$.

- Для $x = 9$. Это значение не принадлежит области определения функции $D(f) = (-\infty, 4]$, так как $9$ не меньше $1$ и не входит в отрезок $[1, 4]$. Следовательно, $f(9)$ не существует.

Ответ: $f(-3) = 1$; $f(1) = 1$; $f(9)$ не определена.

б) Постройте график функции y = f(x).

График функции состоит из двух частей. Для построения проанализируем каждую часть отдельно.

Часть 1. При $x < 1$ функция задается формулой $y = |x + 1| - 1$.
Это график модуля $y=|x|$, смещенный на 1 единицу влево по оси Ox и на 1 единицу вниз по оси Oy. Вершина графика находится в точке $(-1, -1)$.
Раскроем модуль, чтобы представить график в виде двух лучей:
- Если $x + 1 \ge 0$, то есть $x \ge -1$, то $y = (x + 1) - 1 = x$. Это луч прямой $y=x$ на промежутке $[-1, 1)$.
- Если $x + 1 < 0$, то есть $x < -1$, то $y = -(x + 1) - 1 = -x - 2$. Это луч прямой $y=-x-2$ на промежутке $(-\infty, -1)$.
Ключевые точки для этой части: вершина $(-1, -1)$; точки пересечения с осью Ox $(-2, 0)$ и $(0, 0)$. На границе $x=1$ имеем "выколотую" точку, так как неравенство строгое. Координаты этой точки $y = |1+1|-1=1$, то есть $(1, 1)$.

Часть 2. При $1 \le x \le 4$ функция задается формулой $y = 2x^2 - 8x + 7$.
Это часть параболы с ветвями, направленными вверх (так как коэффициент при $x^2$ равен $2 > 0$).
Найдем координаты вершины параболы:
Абсцисса вершины: $x_в = -b / (2a) = -(-8) / (2 \cdot 2) = 2$.
Ордината вершины: $y_в = f(2) = 2(2)^2 - 8(2) + 7 = 8 - 16 + 7 = -1$.
Вершина параболы $(2, -1)$ принадлежит отрезку $[1, 4]$.
Вычислим значения функции на концах отрезка:
- $f(1) = 2(1)^2 - 8(1) + 7 = 1$. Координаты начальной точки $(1, 1)$. Эта точка "закрашенная".
- $f(4) = 2(4)^2 - 8(4) + 7 = 32 - 32 + 7 = 7$. Координаты конечной точки $(4, 7)$.

Объединение графиков:
Совмещаем построенные части. В точке $x=1$ "выколотая" точка $(1, 1)$ первого графика совпадает с начальной "закрашенной" точкой второго графика $(1, 1)$. Это означает, что функция непрерывна в этой точке. Итоговый график состоит из двух лучей, образующих "галочку" с вершиной в $(-1, -1)$ на интервале $(-\infty, 1)$, и участка параболы с вершиной в $(2, -1)$ на отрезке $[1, 4]$.

Ответ: График функции представляет собой объединение лучей $y = -x-2$ на $(-\infty, -1]$ и $y = x$ на $[-1, 1)$ с участком параболы $y = 2x^2 - 8x + 7$ на отрезке $[1, 4]$.

в) Перечислите свойства функции.

На основе определения функции и её графика перечислим основные свойства:

1. Область определения функции: Функция определена для $x < 1$ и $1 \le x \le 4$. Объединяя эти промежутки, получаем $D(f) = (-\infty, 4]$.

2. Область значений функции: Минимальное значение функции равно $-1$ (в точках $x=-1$ и $x=2$). При $x \to -\infty$, $f(x) \to +\infty$. Следовательно, $E(f) = [-1, +\infty)$.

3. Нули функции: $f(x)=0$.
- На $(-\infty, 1)$: $|x+1|-1 = 0 \implies |x+1|=1 \implies x+1=1$ или $x+1=-1$. Получаем $x=0$ и $x=-2$.
- На $[1, 4]$: $2x^2 - 8x + 7 = 0$. Дискриминант $D=64-56=8$. Корни $x = \frac{8 \pm \sqrt{8}}{4} = 2 \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$. Оба корня принадлежат отрезку $[1, 4]$.
Нули: $x=-2$, $x=0$, $x=2 - \frac{\sqrt{2}}{2}$, $x=2 + \frac{\sqrt{2}}{2}$.

4. Промежутки знакопостоянства:
- $f(x) > 0$ при $x \in (-\infty, -2) \cup (0, 2 - \frac{\sqrt{2}}{2}) \cup (2 + \frac{\sqrt{2}}{2}, 4]$.
- $f(x) < 0$ при $x \in (-2, 0) \cup (2 - \frac{\sqrt{2}}{2}, 2 + \frac{\sqrt{2}}{2})$.

5. Монотонность функции:
- Функция возрастает на промежутках $[-1, 1]$ и $[2, 4]$.
- Функция убывает на промежутках $(-\infty, -1]$ и $[1, 2]$.

6. Точки экстремума:
- $x = -1$ и $x = 2$ — точки минимума. $y_{min} = f(-1) = f(2) = -1$.
- $x = 1$ — точка локального максимума. $y_{max} = f(1) = 1$.

7. Наибольшее и наименьшее значения:
- Наименьшее значение функции $y_{наим} = -1$.
- Наибольшего значения не существует, так как функция не ограничена сверху.

8. Чётность, нечётность: Функция является функцией общего вида, так как её область определения $D(f) = (-\infty, 4]$ несимметрична относительно начала координат.

9. Непрерывность: Функция непрерывна на всей области определения $D(f) = (-\infty, 4]$.

Ответ: Свойства функции (область определения и значений, нули, знакопостоянство, монотонность, экстремумы, ограниченность, чётность, непрерывность) подробно описаны выше.

9 Исследуйте на монотонность функцию $y = \frac{3}{x+1} - 4$.

Для того чтобы исследовать функцию $y = \frac{3}{x + 1} - 4$ на монотонность, необходимо найти её область определения, вычислить производную и определить знак производной на интервалах области определения.

Сначала найдем область определения функции. Данная функция является дробно-рациональной, поэтому она определена для всех значений $x$, кроме тех, которые обращают знаменатель в ноль.

$x + 1 \neq 0 \implies x \neq -1$

Таким образом, область определения функции: $D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$. Точка $x=-1$ является точкой разрыва.

Далее найдем производную функции $y(x)$:

$y' = \left(\frac{3}{x + 1} - 4\right)' = \left(\frac{3}{x + 1}\right)' - (4)'$

Производная константы равна нулю. Для нахождения производной дроби воспользуемся правилом дифференцирования частного $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ или правилом для степенной функции $ (kx^n)' = knx^{n-1} $.

Используя второй способ, представим функцию как $y = 3(x+1)^{-1} - 4$.

$y' = (3(x+1)^{-1})' - (4)' = 3 \cdot (-1) \cdot (x+1)^{-1-1} \cdot (x+1)' - 0 = -3(x+1)^{-2} \cdot 1 = -\frac{3}{(x+1)^2}$

Теперь проанализируем знак производной $y' = -\frac{3}{(x+1)^2}$ на области определения функции.

Числитель дроби равен $-3$, он всегда отрицателен.

Знаменатель дроби, $(x+1)^2$, является квадратом выражения и всегда положителен при любом $x$ из области определения функции (так как $x \neq -1$).

Следовательно, производная $y'$ является частным отрицательного и положительного числа, а значит, она отрицательна на всей области определения функции:

$y' < 0$ для всех $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.

Согласно достаточному условию монотонности функции, если производная функции отрицательна на некотором интервале, то функция на этом интервале строго убывает. Поскольку производная отрицательна на обоих интервалах области определения, функция убывает на каждом из этих интервалов.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; -1)$ и на промежутке $(-1; +\infty)$.

10 При каких значениях $p$ уравнение $-x^2 + 6x - 2 = p$:

a) не имеет корней;

б) имеет один корень;

в) имеет два корня?

Чтобы определить количество корней уравнения в зависимости от параметра $p$, приведем его к стандартному виду квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.

Исходное уравнение: $-x^2 + 6x - 2 = p$.

Перенесем $p$ в левую часть:

$-x^2 + 6x - 2 - p = 0$

Для удобства умножим все уравнение на $-1$:

$x^2 - 6x + 2 + p = 0$

Теперь это квадратное уравнение с коэффициентами $a=1$, $b=-6$ и $c=2+p$. Количество действительных корней квадратного уравнения зависит от знака его дискриминанта $D = b^2 - 4ac$.

Вычислим дискриминант для нашего уравнения:

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2 + p) = 36 - 4(2 + p) = 36 - 8 - 4p = 28 - 4p$.

Теперь рассмотрим каждый из случаев.

а) не имеет корней

Уравнение не имеет действительных корней, если его дискриминант строго меньше нуля ($D < 0$).

$28 - 4p < 0$

$28 < 4p$

$7 < p$

Ответ: уравнение не имеет корней при $p > 7$, то есть $p \in (7; +\infty)$.

б) имеет один корень

Уравнение имеет один действительный корень (или два равных корня), если его дискриминант равен нулю ($D = 0$).

$28 - 4p = 0$

$28 = 4p$

$p = 7$

Ответ: уравнение имеет один корень при $p = 7$.

в) имеет два корня

Уравнение имеет два различных действительных корня, если его дискриминант строго больше нуля ($D > 0$).

$28 - 4p > 0$

$28 > 4p$

$7 > p$

Ответ: уравнение имеет два корня при $p < 7$, то есть $p \in (-\infty; 7)$.

11 Составляют различные квадратичные функции $y = ax^2 + bx + c$. Коэффициент $a$ произвольно выбирают из чисел 1, 2 или 5, а коэффициенты $b$ и $c$ произвольно выбирают из чисел $-1, 4$ (совпадения допустимы). Сколько всего таких функций можно составить?

Для нахождения общего количества различных квадратичных функций вида $y = ax^2 + bx + c$, которые можно составить, необходимо использовать правило умножения из комбинаторики. Это правило гласит, что если объект A можно выбрать $m$ способами, и после каждого такого выбора объект B можно выбрать $n$ способами, то выбор пары (A, B) можно осуществить $m \times n$ способами.

В данной задаче нам нужно выбрать три коэффициента: $a$, $b$ и $c$. Выбор каждого из них является независимым событием.

1. Выбор коэффициента $a$.Коэффициент $a$ выбирается из множества чисел {1, 2, 5}. Следовательно, для выбора коэффициента $a$ существует 3 различных варианта.

2. Выбор коэффициента $b$.Коэффициент $b$ выбирается из множества чисел {−1, 4}. Следовательно, для выбора коэффициента $b$ существует 2 различных варианта.

3. Выбор коэффициента $c$.Коэффициент $c$ также выбирается из множества чисел {−1, 4}. Следовательно, для выбора коэффициента $c$ существует 2 различных варианта. Условие "совпадения допустимы" подтверждает, что выбор $b$ и $c$ происходит независимо из одного и того же набора чисел.

Чтобы найти общее количество различных функций, нужно перемножить количество вариантов выбора для каждого коэффициента:

Количество функций = (Количество вариантов для $a$) $\times$ (Количество вариантов для $b$) $\times$ (Количество вариантов для $c$)

Подставляя числовые значения, получаем:

$3 \times 2 \times 2 = 12$

Таким образом, можно составить 12 различных квадратичных функций.

Ответ: 12