Номер 10, страница 155, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Домашняя контрольная работа №3. Вариант 2. Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 10, страница 155.

Условие.

10 При каких значениях $p$ уравнение $-x^2 + 6x - 2 = p$:

a) не имеет корней;

б) имеет один корень;

в) имеет два корня?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Чтобы определить количество корней уравнения в зависимости от параметра $p$, приведем его к стандартному виду квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.

Исходное уравнение: $-x^2 + 6x - 2 = p$.

Перенесем $p$ в левую часть:

$-x^2 + 6x - 2 - p = 0$

Для удобства умножим все уравнение на $-1$:

$x^2 - 6x + 2 + p = 0$

Теперь это квадратное уравнение с коэффициентами $a=1$, $b=-6$ и $c=2+p$. Количество действительных корней квадратного уравнения зависит от знака его дискриминанта $D = b^2 - 4ac$.

Вычислим дискриминант для нашего уравнения:

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2 + p) = 36 - 4(2 + p) = 36 - 8 - 4p = 28 - 4p$.

Теперь рассмотрим каждый из случаев.

а) не имеет корней

Уравнение не имеет действительных корней, если его дискриминант строго меньше нуля ($D < 0$).

$28 - 4p < 0$

$28 < 4p$

$7 < p$

Ответ: уравнение не имеет корней при $p > 7$, то есть $p \in (7; +\infty)$.

б) имеет один корень

Уравнение имеет один действительный корень (или два равных корня), если его дискриминант равен нулю ($D = 0$).

$28 - 4p = 0$

$28 = 4p$

$p = 7$

Ответ: уравнение имеет один корень при $p = 7$.

в) имеет два корня

Уравнение имеет два различных действительных корня, если его дискриминант строго больше нуля ($D > 0$).

$28 - 4p > 0$

$28 > 4p$

$7 > p$

Ответ: уравнение имеет два корня при $p < 7$, то есть $p \in (-\infty; 7)$.