Номер 27.5, страница 156, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 27. Основные понятия. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 27.5, страница 156.

Условие.

27.5 a) $2(x + 6)(x - 6) + 3(x + 6) = x^2 - 5x;$

б) $25 - x^2 + 2(x - 5) = 4(x - 5).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) Решим уравнение $2(x + 6)(x - 6) + 3(x + 6) = x^2 - 5x$.

В левой части уравнения применим формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ к выражению $(x+6)(x-6)$. Получаем $x^2-36$.

Подставляем результат в исходное уравнение: $2(x^2 - 36) + 3(x + 6) = x^2 - 5x$.

Раскрываем скобки: $2x^2 - 72 + 3x + 18 = x^2 - 5x$.

Приводим подобные слагаемые в левой части уравнения: $2x^2 + 3x - 54 = x^2 - 5x$.

Переносим все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$:

$2x^2 - x^2 + 3x + 5x - 54 = 0$

$x^2 + 8x - 54 = 0$

Для решения этого уравнения найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$, где $a=1, b=8, c=-54$:

$D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-54) = 64 + 216 = 280$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня, которые находим по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x = \frac{-8 \pm \sqrt{280}}{2} = \frac{-8 \pm \sqrt{4 \cdot 70}}{2} = \frac{-8 \pm 2\sqrt{70}}{2} = -4 \pm \sqrt{70}$.

Ответ: $-4 - \sqrt{70}; -4 + \sqrt{70}$.

б) Решим уравнение $25 - x^2 + 2(x - 5) = 4(x - 5)$.

Перенесем все слагаемые в левую часть: $25 - x^2 + 2(x - 5) - 4(x - 5) = 0$.

Упростим выражение: $25 - x^2 - 2(x - 5) = 0$.

Представим $25 - x^2$ как разность квадратов $(5-x)(5+x)$: $(5 - x)(5 + x) - 2(x - 5) = 0$.

Заметим, что $(5-x) = -(x-5)$. Подставим это в уравнение: $-(x - 5)(5 + x) - 2(x - 5) = 0$.

Вынесем общий множитель $(x-5)$ за скобки: $(x - 5) \cdot [-(5 + x) - 2] = 0$.

Упростим выражение во второй скобке: $(x - 5) \cdot (-5 - x - 2) = 0$, что дает $(x - 5)(-x - 7) = 0$.

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два линейных уравнения:

$x - 5 = 0$ или $-x - 7 = 0$.

Решая их, находим корни: $x_1 = 5$ и $x_2 = -7$.

Ответ: -7; 5.