Номер 27.12, страница 157, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 27. Основные понятия. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 27.12, страница 157.

Условие.

27.12 а) $3x^2 - 12x = 0;$

б) $x^2 + 2x = 0;$

в) $-2x^2 + 14 = 0;$

г) $3 - x^2 + x = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) $3x^2 - 12x = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Для его решения вынесем общий множитель $3x$ за скобки:

$3x(x - 4) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, мы имеем два случая:

$3x = 0$ или $x - 4 = 0$

Решаем каждое из этих простых уравнений:

Из первого уравнения получаем $x_1 = 0$.

Из второго уравнения получаем $x_2 = 4$.

Ответ: $0; 4$

б) $x^2 + 2x = 0$

Это также неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x + 2) = 0$

Приравниваем каждый множитель к нулю:

$x = 0$ или $x + 2 = 0$

Находим корни уравнения:

$x_1 = 0$

$x_2 = -2$

Ответ: $-2; 0$

в) $-2x^2 + 14 = 0$

Это неполное квадратное уравнение вида $ax^2 + c = 0$. Перенесем свободный член в правую часть уравнения:

$-2x^2 = -14$

Разделим обе части уравнения на коэффициент при $x^2$, то есть на $-2$:

$x^2 = \frac{-14}{-2}$

$x^2 = 7$

Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Важно помнить, что корень может быть как положительным, так и отрицательным:

$x = \pm\sqrt{7}$

Таким образом, у уравнения два корня:

$x_1 = -\sqrt{7}$ и $x_2 = \sqrt{7}$

Ответ: $-\sqrt{7}; \sqrt{7}$

г) $3 - x^2 + x = 0$

Это полное квадратное уравнение. Для начала приведем его к стандартному виду $ax^2 + bx + c = 0$, расположив члены по убыванию степеней $x$:

$-x^2 + x + 3 = 0$

Чтобы сделать вычисления удобнее, умножим обе части уравнения на $-1$, чтобы коэффициент при $x^2$ стал положительным:

$x^2 - x - 3 = 0$

Теперь решим это уравнение с помощью формулы корней квадратного уравнения через дискриминант. Здесь коэффициенты $a=1, b=-1, c=-3$.

Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 1 + 12 = 13$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{13}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2}$

Таким образом, корни уравнения:

$x_1 = \frac{1 - \sqrt{13}}{2}$ и $x_2 = \frac{1 + \sqrt{13}}{2}$

Ответ: $\frac{1 - \sqrt{13}}{2}; \frac{1 + \sqrt{13}}{2}$